Hoe los je een vergelijking als sin(x)= 3/5 geeft x=... algebraïsch op? of kun je dit niet algebraïsch oplossen?

Je kunt het wel oplossen, maar het komt niet mooi uit.
Om dit op te lossen moet je sin^(-1) nemen. De antwoorden worden dan:

x = sin^(-1)[3/5] + 2*pi*n of
x = pi - sin^(-1)[3/5] + 2*pi*n

Ofschoon het gegeven voorbeeld geen algebraïsche oplossing heeft, zijn er wel degelijk veel voorbeelden te noemen waarbij de oplossing uit te drukken is in radicalen. Bijvoorbeeld:
sin(x) = wortel(1/2) => x = pi/4 + 2*k*pi of x = 3*pi/4 + 2*k*pi met k een geheel getal.
Om dit soort oplossingen te vinden kun je gebruik maken van de stelling van de Moivre of een recurrente betrekking van de vorm (Chebyshev):
cos(nx) = 2*cos(x)*cos([n-1]x) - cos([n-2]x) en sin(nx) = 2*cos(x)*sin([n-1]x) - sin([n-2]x)
Zo kun je bijvoorbeeld uitwerken dat cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x). Hiermee zie je dat 1 = cos(2*pi) = cos(3*[2*pi/3]) = 4cos^3(2*pi/3) - 3cos(2*pi/3). Laat y = cos(2*pi/3), dan 1 = 4y^3-3y.
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: y = 1 en y = -1/2. Zo zie je dat cos(2*pi/3) = -1/2.