Waarom wordt een rechte bepaald door 4 onafhankelijke parameters? (3D)

Met een rechte in 3D bedoel je waarschijnlijk een 1-dimensionale deelruimte L van de R^3.
Elk zo'n L is het opspansel D (lineaire deelruimte) van een vector v ongelijk 0, verschoven langs een vector w. Ofwel, L=D+w met D=Rv. Elke vector in R^3 wordt bepaald aan de hand van 3 parameters: de componenten langs de basisvectoren.
We zien hiermee dat het aantal parameters om L vast te leggen ten hoogste 6 is.
Wanneer we de translatie met w buiten beschouwing laten, zien we dat D wordt vastgelegd door 2 parameters. Immers, een lijn door de oorspong snijdt de eenheidsbol in twee antipodale punten en ieder punt op de eenheidsbol wordt in bolcoördinaten door twee hoeken vastgelegd.
Het is nu niet moeilijk in te zien dat door introductie van translatie met w er weliswaar 3 parameters extra worden geïntroduceerd, maar dat er hiervan één redundant is. Kies voor R^3 een basis die v bevat, dan is de translatie langs v redundant, omdat elk zo'n translatie L in zichzelf overvoert.
Ofwel, door introductie van translatie met w worden er slechts 2 parameters extra geïntroduceerd. Dit brengt het totaal op 4.
Om in te zien dat er geen verdere vereenvoudiging is aan te brengen voldoet het om op te merken dat 3 parameters te weinig is. Immers, 3 parameters definiëren één vector, die één lineaire deelruimte definieert, maar hiermee is de translatie nog niet meegenomen.