Hoe word een cirkel vervormt die loodrecht op een hoek van een kubus staat?

We kunnen de hoek van een kubus netjes in de oorsprong van een 3D assenstelsel neerleggen. Op deze manier ligt één hoekpunt in de oorsprong en 3 aangrenzende hoekpunten liggen op (l,0,0), (0,l,0) en (0,0,l) langs de assen.Je steekt nu een cilinder met straal r door het hoekpunt heen, zodat de hoofdas samenvalt met de diagonaal van de kubus. Gezien langs de hoofdas, heeft de cilinder nu een cirkelvormige afdruk om het hoekpunt achter gelaten. Waar we nu naar op zoek zijn is hoe deze afdruk er uitziet, bezien langs ieder vlak van de kubus. Ofwel, bezien langs ieder van de assen van het assenstelsel (x,y,z).We willen nu transformeren van het coördinatenstelsel van de cilinder (X,Y,Z), naar het coördinatenstelsel van de kubushoek (x,y,z). De cirkel in (X,Y,Z) wordt bijvoorbeeld gegeven door X^2+Y^2=r^2, zodat de Z-richting samenvalt met de hoofdas van de cilinder. Om precies te zijn kunnen we X, Y en Z nog steeds op veel manieren uitdrukken in x, y en z, maar laten we voor het gemak een orthonormaal stelsel kiezen: X = (x-y)/wortel(2), Y = (x+y-2z)/wortel(6), Z = (x+y+z)/wortel(3) De cirkel in (X,Y,Z) is nu de projectie van het "drielobbige klaverblad" op de kubusvlakken naar het (X,Y)-vlak. Laten we de lob in het (x,y)-vlak bekijken. Voor ieder punt in het (x,y)-vlak geldt dat z=0. Laat (X,Y,Z)=(p,q,0) een punt op de cirkel zijn. We willen nu Z weten, zodat (p,q,Z) in het (x,y)-vlak ligt: Z = (x+y+z)/wortel(3) = (x+y)/wortel(3) en Y = (x+y-2z)/wortel(6) = (x+y)/wortel(6), zodat x+y = Y*wortel(6) en dus Z = Y*wortel(6)/wortel(3) = Y*wortel(2) = q*wortel(2)
Ofwel, (X,Y,Z) = (p,q,q*wortel(2)) ligt in het (x,y)-vlak. Combineren met p^2+q^2 = r^2 geeft een stuksgewijs gladde parametrisatie van de lob. Stel bijvoorbeeld -rx=[q*wortel(3)+wortel(r^2-q^2)]/wortel(2), y=[q*wortel(3)-wortel(r^2-q^2)]/wortel(2) en z=0.
Je ziet nu dat we een parametrisatie in het (x,y)-vlak te pakken hebben. Omdat deze slechts relevant is tot aan de ribben van de kubus (x,z)=(0,0) en (y,z)=(0,0) lossen we op wanneer x=0 en y=0. Dit geldt als q = -2r of als q = 2r. Het oppervlak en de omtrek van de lob zijn nu te berekenen met integralen.