Waarom heeft een omwentelingslichaam meestal niet-intrinsieke singuliere punten daar waar het lichaam de rotatie-as snijdt?

Gegeven f:I->R voldoende vaak differentieerbaar met I een interval in R, dan wordt het omwentelingslichaam van de grafiek van f om de as waar I in ligt gevormd door de verzameling V van punten (r,x,h)=(straal, hoogte langs I, hoek) = (f(x), x, a) met x in I en a in [0,2*pi[ in cilindrische coordinaten.
V ligt op deze manier ingebed in R^3. Wanneer f een singulier punt x heeft, dan heeft V een cirkel C van punten (f(x), x, a) met a alle hoeken. Deze punten zijn singulier als we ieder punt op C opvatten als punt van een kopie van de grafiek van f. Echter, daar V een varieteit is wordt de singulariteit van V in een punt x bepaald door de regulariteit van de gradient van V in x.
Merk op dat grad = (d/dr, d/dx, 1/r d/dh) in cilindrische coordinaten. Stel nu dat f(x)=0 een singulier punt is van f, dan kan, afhankelijk van het gedrag van f, de gradient niet-singulier zijn in (f(x), 0, a). Immers, de determinant van de gradient is proportioneel met 1/r.