Hoe werkt machtsverheffen met kommagetallen?

Machtsverheffen met komma getallen werkt op vergelijkbare manier als gewoon machtsverheffen, alleen zul je er in de regel veel langer mee zoet zijn om handmatig uit te voeren.
Wanneer je bijvoorbeeld 3^2,34 uit wilt rekenen kun je opmerken dan 2,43=243/100. Ofwel, 3^2,34=(3^243)*(100 ste machtswortel van 3)
Om de 100 ste machtswortel van 3 kun je diverse metoden gebruiken waarvan ik er twee zal noemen:
- (Methode van Newton) Stel je wilt a^(1/n) uitrekenen voor n een positief geheel getal, dan zoek je naar de nulpunten van f(x) = x^n-a. Immers, f(a^(1/n))=0.
Je begint nu met een grove gok voor x (dichtbij het antwoord), zeg x(0), dan itereer je net zolang met x(m+1)=x(m)-(x(m)^n-a)/(n*x(m)^(n-1)), totdat je de gewenste precisie hebt bereikt.
Bijvoorbeeld, stel je wilt de 4de machtswortel van 5 weten dan kijk je naar f(x)=x^4-5. Startend met bijvoorbeeld x(0)=1.5, dan x(1)=1.495370... en x(2)=1.495349...
- (Logaritme tabellen) Als x=a^(1/n), dan log(x)=log(a)/n, zodat als je log(a) opzoekt, je log(x) kunt berekenen door te delen door n. Ten slotte bereken je x, door de antilog op te zoeken van log(a)/n. Ofwel, x=e^(log(a)/n).

Ik hoop dat je nu begrijpt waarom we zo blij zijn met rekenmachines. En dan hebben we het nog niet eens gehad over de situatie waar je exponent niet op te vatten is als breuk (rationaal getal), bijvoorbeeld 3^pi.