Hoe bereken je de afgeleide van een formule met de constante van Euler?

Question

Ik moet de raaklijk aan de grafiek e^(-.5x) voor x=2 berekenen. Daarvoor heb ik dus het hellingsgetal bij x=2 nodig.. maar hoe bereken ik de afgeleide? Ik ken alle nodige VWO differentieerregels maar volgens mij is er bij e een aparte regel die niet in mijn boek staat....

Hoe doe ik dit? :D

Bij voorbaat dank!

 · Accepted Answer

Om te begrijpen waarom de eerder geschetste rekenregels gelden is het de moeite waard om te begrijpen hoe f(x)=e^x tot stand komt.
f is de unieke oplossing van de differentiaalvergelijking f'=f met f(0)=1
Dus als je als je de afgeleide van e^(-x/2) in x=2 wilt weten gebruik je de kettingregel. Definieer
g(x)=-x/2 en h(x)=f(g(x))=e^(-x/2). Je wilt nu h'(2) weten. Merk op, h'(x)=f'(g(x))g'(x)=-f(g(x))/2=-h(x)/2, zodat h'(2)=-(e^-1)/2.
De raaklijn die je zoekt is nu y=y(x)=h'(2)x+h(2)=-(e^-1)x/2+(e^-1)=(e^-1)(1-x/2).

 · Answer

Bij de constante van euler zijn er andere differentieerregels als anderen. Bij deze som geldt:

F(x)= e^(-0,5x)
F'(x)= e^(-0,5x) x -0,5

De formule van de raaklijn is Y=AX+B

X=2, aangezien je dat al gegeven had.
Y= De uitkomst van 2 in de normale functie = F(2)= e^(-0,5x2) = 0,3679
A= De uitkomst van de afgeleide = F'(2)= e^(-0,5x2) x -0,5= -0,18393972

Invullen geeft:

Y=AX+B
0,3679 = -0,18393972 x 2 + b
0,3679 = -0,3679 + b
b= 0

Raaklijnformule: Y= -0,18393972x

 · Answer

Gewoon met dezelfde regeltjes die je voor andere
exponentiele functies gebruikt

f(x) = a^x   ==>   f'(x) = ln(a) *a^x
Alleen als a=e krijg je de situatie ln(e) =1, dus:
f(x) = e^x   ==>   f'(x) = e^x

en voor de rest is het de kettingregel gebruiken.

Hoe bereken je de afgeleide van een formule met de constante van Euler?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (2)

Bekijk alle vragen in deze categorieën: