Hoe differencieeer je?

Question

Ik zou graag willen weten hoe ik moet differencieren. Hierbij graag uitgebreide uitleg tot redelijk in detail. Voorbeelden zou erg fijn zijn. Ik had ook iets gezien over limieten, wat zijn dat precies?

 · Accepted Answer

De afgeleide, gevonden door het 'differentiëren' is een maat voor de steilheid in een punt of te wel: hoe zeer de kromme verandert. Een afgeleide wordt ook wel differentiaalquotiënt genoemd omdat deze eigenlijk de verandering in y (hier afhankelijke variabele) gedeeld door de verandering in x (onafhankelijke var) is. Dit schrijven wij als                              afgeleide: y' =  dy/dx

{antwoord wordt nog uitgebreid voor het proces}

Toegevoegd na 44 minuten:
1] HET VINDEN VAN DE HELLING OVER EEN INTERVAL

Over een interval (in het plaatje Δx) is de helling gegeven door het verschil in y over het verschil in x oftewel Δy/Δx. Dit is nu denk ik wel duidelijk. Dit is gewoon uit te rekenen.

Laat het interval (domein) zijn: [ x , x + Δx ]

Stel nu dat je dus een functie f hebt. Dan krijg je het verschil in y door: f(x + Δx) - f(x)

Het verschil in x is respectievelijk gewoon Δx.

De verandering in y delen door verandering in x:

Δy/Δx = ( f(x + Δx) - f(x) ) / Δx

Zo kunnen we dus de helling over een interval benaderen. Dit komt al aardig in de buurt van ons doel (de helling in een specifiek punt).

Een VOORBEELD kan zijn:

f(x) = x^2 + 3x - 5
Stel het interval [5,6] dan:
Δy = f(6) - f(5) = 49 - 35 = 14
Δx = 6 - 5 = 1
Dus de helling over het interval [5,6] is Δy/Δx = 14/1 = 14.

Toegevoegd na 57 minuten:
{ik zal zeer spoedig de algemene regel voor de afgeleide in een punt (infinitesimaal heet dat) toevoegen. alinea 1 is een goede inleiding die je eerst maar even moet gaan snappen en mee aan de slag moet! Probeer dit met verschillende functies en kijk eens wat dit eigenlijk betekent!}

Toegevoegd na 1 dag:
2] HET VINDEN VAN DE HELLING IN EEN PUNT

De titel zegt het al: 'in' een punt. Veel mensen maken (vaak in het Engels) de fout door te zeggen 'bij' een punt of 'op' een punt.

Een punt is eigenlijk een oneindig klein interval, sterker nog: het bevat als componenten exact één element uit de verzameling van het domein en één element uit de verzameling van het bereik. Het is dus eigenlijk een combinatie van twee elementen (in 2-space, voor de critici).

Dit klinkt misschien een beetje ingewikkeld, dus laat ik het iets wat ophelderen.

{pauze}

Toegevoegd na 1 dag:
Een interval is eigenlijk een groep mogelijke opties voor x (of y), ik denk dat we het daar over eens kunnen zijn?
Die opties noemen we elementen en die groep een set (ofwel verzameling).

 · Answer

Om de afgeleide van functie x te berekenen heb je een algemene formule: f(x) + h - f(x)/ h met lim h--> 0.
Dit gebruik je eigenlijk om een snelheid in een punt te meten. Dus bijvoorbeeld, wellicht heb je dit al bij natuurkunde gehad,  je krijgt een grafiek van functie x voor je neus. Als de grafiek bijvoorbeeld slaat op de loop van een auto , dan zegt deze grafiek iets over de auto. Bijvoorbeeld over de snelheid en dergelijke. Als je bijvoorbeeld wilt weten wat zijn snelheid was na 3 secondes, dan bereken je dus de afgeleide in dit geval. Bij natuurkunde heb je ongetwijfeld al gehad dat een auto (in je grafiek) zo snel rijdt op dat en dat tijdstip. Als er wordt gevraagd: "Hoe snel reed de auto gemiddeld tussen 0 en 10 s?" Dan doe je dus delta Y/ delta X --> gemiddelde snelheid in dit interval. Maar wat nou als er wordt gevraagd hoe snel de auto reed op 8 s precies? Dan doe je alsof je werkt met een interval maar in feite maak je het interval (of verschil tussen bepaalde waardes zodanig klein dat je deze weg kan laten in berekening = limiet). dan doe je dus bijvoorbeeld: 8,0000000000001 -8,0 = gewoon 0 na de berekening. Hierin is het verschil dus die 8,00000000001 en 8,0 de h in de formule. In de wiskunde mag je nooit door nul delen, zo hier dus ook niet. Vandaar dat er een limiet gebruikt wordt. Dat houdt in dat een bepaald getal wordt genaderd. In dit geval naderen we het getal 0 eigenlijk. Dus: Lim h--->0.

rose · Answer

Differentiéren is het bepalen van de afgeleide van een functie.

We definiëren de afgeleide van f in x als de volgende limiet, onder de voorwaarde dat deze bestaat:
 (zie afbeelding)

 · Answer

Differentiëren doe je in het algemeen zo: Stel je hebt een functie f(x) = ax^(n) + bx + c dan is f'(x) = nax^(n-1) [f' spreek je uit als ef-accent]. Voorbeeld: f(x) = 2x^3 + 4x + 3 dan is f'(x) = 3*2x^(3-1) + 4x^(1-1) = 6x^2 + 4. 
Je komt eraan door de functie een heel klein beetje te laten stijgen in punt x met h en die te delen door die hele kleine stijging (x+h). Die stijging h zie je door de originele f(x) af te trekken van die nieuwe f(x+h) en die te delen door h. Zo dus: [f(x+h) - f(x)] delen hoor h. Krijg je de limiet van h naar nul [lim ->0], dat is de helling van de functie in x.

Hoe differencieeer je?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (3)

Bekijk alle vragen in deze categorieën: