Hét vraag- en antwoordplatform van Nederland

Hoe differencieeer je?

Ik zou graag willen weten hoe ik moet differencieren. Hierbij graag uitgebreide uitleg tot redelijk in detail. Voorbeelden zou erg fijn zijn. Ik had ook iets gezien over limieten, wat zijn dat precies?

Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
in: Wiskunde
2.1K
Amadea
12 jaar geleden
Kijk, daar zijn nou wiskundedocenten voor. Om aan jou uit te leggen wat je niet begrijpt van wat er in je schoolboek staat!
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ik zit nu in 3VWO ik vind wiskunde best een leuk vak en wou graag weten hoe ik dit zou kunnen doen. Mijn docent is hier nog lang niet en hij is beetje apart en zegt dat hij alleen tot huidige stof wilt beperken, vandaar dat ik het hier vraag ;)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
VWO 3? Dat is ook zo'n beetje toen ik m'n wiskundige studies begon... Ik zal, heb het nu een beetje druk, zo snel mogelijk een antwoord geven. Ik raad je aan de vraag trouwens te verlengen naar 14 dagen!
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Oke bedankt alvast en zal hem inderdaad even verlengen
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
je hebt trouwens de vraag niet verlengd?
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ja heb ik nu gedaan! :) Ik zat eerst op mijn telefoon en daar kon ik het niet op vinden waar ik dat in kon stellen. Hij staat nu op 14 dagen :)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ben je er nog? Anders hoef ik mijn antwoord niet af te maken nmlk.

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Het beste antwoord

De afgeleide, gevonden door het 'differentiëren' is een maat voor de steilheid in een punt of te wel: hoe zeer de kromme verandert. Een afgeleide wordt ook wel differentiaalquotiënt genoemd omdat deze eigenlijk de verandering in y (hier afhankelijke variabele) gedeeld door de verandering in x (onafhankelijke var) is. Dit schrijven wij als afgeleide: y' = dy/dx

{antwoord wordt nog uitgebreid voor het proces}

Toegevoegd na 44 minuten:
1] HET VINDEN VAN DE HELLING OVER EEN INTERVAL

Over een interval (in het plaatje Δx) is de helling gegeven door het verschil in y over het verschil in x oftewel Δy/Δx. Dit is nu denk ik wel duidelijk. Dit is gewoon uit te rekenen.

Laat het interval (domein) zijn: [ x , x + Δx ]

Stel nu dat je dus een functie f hebt. Dan krijg je het verschil in y door: f(x + Δx) - f(x)

Het verschil in x is respectievelijk gewoon Δx.

De verandering in y delen door verandering in x:

Δy/Δx = ( f(x + Δx) - f(x) ) / Δx

Zo kunnen we dus de helling over een interval benaderen. Dit komt al aardig in de buurt van ons doel (de helling in een specifiek punt).

Een VOORBEELD kan zijn:

f(x) = x^2 + 3x - 5
Stel het interval [5,6] dan:
Δy = f(6) - f(5) = 49 - 35 = 14
Δx = 6 - 5 = 1
Dus de helling over het interval [5,6] is Δy/Δx = 14/1 = 14.

Toegevoegd na 57 minuten:
{ik zal zeer spoedig de algemene regel voor de afgeleide in een punt (infinitesimaal heet dat) toevoegen. alinea 1 is een goede inleiding die je eerst maar even moet gaan snappen en mee aan de slag moet! Probeer dit met verschillende functies en kijk eens wat dit eigenlijk betekent!}

Toegevoegd na 1 dag:
2] HET VINDEN VAN DE HELLING IN EEN PUNT

De titel zegt het al: 'in' een punt. Veel mensen maken (vaak in het Engels) de fout door te zeggen 'bij' een punt of 'op' een punt.

Een punt is eigenlijk een oneindig klein interval, sterker nog: het bevat als componenten exact één element uit de verzameling van het domein en één element uit de verzameling van het bereik. Het is dus eigenlijk een combinatie van twee elementen (in 2-space, voor de critici).

Dit klinkt misschien een beetje ingewikkeld, dus laat ik het iets wat ophelderen.

{pauze}

Toegevoegd na 1 dag:
Een interval is eigenlijk een groep mogelijke opties voor x (of y), ik denk dat we het daar over eens kunnen zijn?
Die opties noemen we elementen en die groep een set (ofwel verzameling).
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ah fit begin ik al redelijk te snappen! :) Ik ben benieuwd naar de uitbereidingen :)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Dus, als ik het goed heb heb je met "f(x) = x^2 + 3x - 5
Stel het interval [5,6] dan:
Δy = f(6) - f(5) = 49 - 35 = 14
Δx = 6 - 5 = 1
Dus de helling over het interval [5,6] is Δy/Δx = 14/1 = 14." Berekent hoeveel de grafiek stijgt over een interval van [5,6] dus van 5 t/m 6? Of heb ik het verkeerd begrepen.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
@Melvin Dat is inderdaad de helling. Het is niet PER DEFINITIE de stijging! Stijging is het verschil maar helling is schuin/stijl de grafiek is. Met andere woorden, de helling is de stijging per 'unit' (dus per 1-x eenheid). De stijging is de totale Δy over dat interval. In dit geval (omdat ik toevallig Δx = 1 heb genomen) is de helling de stijging.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ik begin het te snappen! :) Dit is erg handig als je iets heel analytisch wilt benaderen. Ik kijk uit naar komende updates van je post! :)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ik heb een beetje lopen oefenen, hetzelfde gedaan met net wat andere functies. Is het volgende wat ik heb gedaan goed/fout?
"f(x) = x^2+2,5x+11
De interval is [2,4]
∆y = f(4)-f(2) = 24,5-12,5 = 12
∆x = 4-2 = 2
De helling over het interval [2,4] is ∆y/∆x = 12/2 = 6"
Ik snap nog niet precies wat de helling nou precies is, zou je dat nog een keer uit kunnen leggen?
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
@Melvin f(4) en f(2) weet ik niet uit mijn hoofd, maar als die kloppen klopt je antwoord ook ja. De werkwijze is helemaal correct.
Ik zal het idee van helling nog meenemen in mijn post morgen.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Oh die f(4) & f(2) klopt niet zie ik, typte waarschijnlijk net iets mis op de rekenmachine. Het hoort: ∆y = 37-20 = 17 te zijn.
Maar het ging even om de werkwijze en de manier van aanpak ^^.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ik ga verder in reacties (het schijnt 'te lang' te zijn): [punt 2 vervolgd] Als je nu een element van het domein (mogelijke x-waarden) en een element van het bereik kiest (mogelijke y-waarden) krijg je 'n punt. Dit punt is in het normale xy vlak gedefinieerd als (x,y). Nu is het zo, dat als je dus een punt wilt nemen, dit een oneindig klein interval is (namelijk 1 element per component). Het verschil in x 'nadert' dus 0. Als we bij onze definitie voor een interval ( delta x/delta y = ( f(x + delta x) - f(x) )/( delta x ) ) nu de delta x naar 0 laten naderen, wordt het verschil oneindig klein en dus hebben we de helling in een punt. De afgeleide in een punt dus. Er zijn twee manieren om dit te doen:
1) Benaderen (hele kleine waarde van delta x invullen en uitrekenen)
2) Evalueren (dit kan alleen als je limieten kunt, dan kun je het algebraïsch dus zonder echt iets 'in te vullen' uitrekenen, zeg maar) Ik denk dat we het nu even op benaderen houden. Dadelijk voeg ik een voorbeeldje toe.

Andere antwoorden (3)

Om de afgeleide van functie x te berekenen heb je een algemene formule: f(x) + h - f(x)/ h met lim h--> 0.
Dit gebruik je eigenlijk om een snelheid in een punt te meten. Dus bijvoorbeeld, wellicht heb je dit al bij natuurkunde gehad, je krijgt een grafiek van functie x voor je neus. Als de grafiek bijvoorbeeld slaat op de loop van een auto , dan zegt deze grafiek iets over de auto. Bijvoorbeeld over de snelheid en dergelijke. Als je bijvoorbeeld wilt weten wat zijn snelheid was na 3 secondes, dan bereken je dus de afgeleide in dit geval. Bij natuurkunde heb je ongetwijfeld al gehad dat een auto (in je grafiek) zo snel rijdt op dat en dat tijdstip. Als er wordt gevraagd: "Hoe snel reed de auto gemiddeld tussen 0 en 10 s?" Dan doe je dus delta Y/ delta X --> gemiddelde snelheid in dit interval. Maar wat nou als er wordt gevraagd hoe snel de auto reed op 8 s precies? Dan doe je alsof je werkt met een interval maar in feite maak je het interval (of verschil tussen bepaalde waardes zodanig klein dat je deze weg kan laten in berekening = limiet). dan doe je dus bijvoorbeeld: 8,0000000000001 -8,0 = gewoon 0 na de berekening. Hierin is het verschil dus die 8,00000000001 en 8,0 de h in de formule. In de wiskunde mag je nooit door nul delen, zo hier dus ook niet. Vandaar dat er een limiet gebruikt wordt. Dat houdt in dat een bepaald getal wordt genaderd. In dit geval naderen we het getal 0 eigenlijk. Dus: Lim h--->0.
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Differentiéren is het bepalen van de afgeleide van een functie.

We definiëren de afgeleide van f in x als de volgende limiet, onder de voorwaarde dat deze bestaat:
(zie afbeelding)
(Lees meer...)
12 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Laat dat nou eens een mooie definitie zijn... Helaas zit meneer in vwo 3 en weet natuurlijk niet hoe limieten werken ;). Hij vroeg uitleg in detail...
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ben het eens met svdongen :p snap het zo niet echt bepaald. Ik weet dat een limiet ergens naar naderd maar ik heb echt goede voorbeelden nodig om het wat 'levend' te maken in mijn hoofd zodat ik het ook inzichtelijk begrijp
Differentiëren doe je in het algemeen zo: Stel je hebt een functie f(x) = ax^(n) + bx + c dan is f'(x) = nax^(n-1) [f' spreek je uit als ef-accent]. Voorbeeld: f(x) = 2x^3 + 4x + 3 dan is f'(x) = 3*2x^(3-1) + 4x^(1-1) = 6x^2 + 4.
Je komt eraan door de functie een heel klein beetje te laten stijgen in punt x met h en die te delen door die hele kleine stijging (x+h). Die stijging h zie je door de originele f(x) af te trekken van die nieuwe f(x+h) en die te delen door h. Zo dus: [f(x+h) - f(x)] delen hoor h. Krijg je de limiet van h naar nul [lim ->0], dat is de helling van de functie in x.
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden

Weet jij het beter..?

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

0 / 5000
Gekozen afbeelding