Als de eerste afgeleide van een functie continu is, is dan die functie zelf ook continu?

Als er een afgeleide is, is er een ''richting''. Ik zou dus zeggen val wel. Uit de definitie van continuïteit kan ik het echter niet opmaken. Voor elementaire functies lijkt het me zeker het geval.

Toegevoegd na 48 seconden:
Een functie kan alleen een afgeleide hebben als zij continue is. Vice versa: als er een afgeleide is moet zij continue zijn.

Toegevoegd na 16 minuten:
Stel f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x

ln(x) is continue op R+ \{0} ( oftewel x > 0 )

1/x is continue R \ {0} dus x != 0.

Het probleem is echter, dat ln(x) helemaal geen afgeleide heeft op x < 0. De afgeleide 1/x houdt dus ook helemaal niet. Een afgeleide geldt dus altijd voor specifieke domeinen. Daarom is dit ook zo'n 'vreemde' zaak.

Je kan niet zeggen 'de afgeleide van ln(x) is 1/x en dus is ln(x) continue op R\{0} omdat 1/x dit is'.
Waarom niet? Omdat 1/x helemaal niet de afgeleide is op R-.

Snap je het probleem??

Toegevoegd na 17 minuten:
1/x is een 'makkelijk' voorbeeld. Deze is niet continue in x = 0.

De afgeleide (voor x!=0) is ook niet continue in x = 0. Dit komt overeen. Dit is niet altijd het geval, however.

De 1/x van ln(x) geldt echter wel als ln(|x|).

Het antwoord is ja.

De eerste afgeleide hoeft zelfs niet continu te zijn. Als een functie afleidbaar is, is de functie zeker continu. Afleidbaarheid (of differentieerbaarheid) is een 'strengere eis' dan continuïteit: elke afleidbare functie is continu, maar niet omgekeerd.

Dat het omgekeerde niet geldt kan je bv. zien aan de functie met voorschrift f(x) = |x|, de absolute waarde. Die is overal continu, maar niet afleidbaar in x = 0 (verschillende linker- en rechterafgeleide).

Dat de richting afleidbaar => continu wél geldt, kan je bewijzen met de definities van afleidbaarheid en continuïteit. Voor een kort bewijs hiervan kan je de bijgevoegde link volgen.

Nog iets terzijde: het is niet omdat een functie afleidbaar is, dat die afgeleide functie zelf een continue functie is. Maar het antwoord op je vraag is dus 'ja', zelfs als je 'continu' bij de afgeleide functie laat vallen.