Waarom heeft de lengte (norm) van een vector (in R^n) invloed op de richtingsafgeleide?

Als de vector langer wordt, dan verandert toch gewoon de richting?

Toegevoegd na 1 minuut:
Correctie: steilheid met betrekking tot de richting? De steilheid resp. tot die richting is de richtingsafgeleide. Als het pad langer wordt, zal ook de steilheid toenemen. De richting zelf niet. Of begrijp ik het nu niet goed?

Toegevoegd na 1 week:
De richtingsafgeleide kan je definiëren als

den w dot u

waarbij u je (eenheids)vector is en w de functie van het resp. level-plane.

Het maakt dus inderdaad uit of deze vector's norm groter wordt. Dit is eigenlijk ook heel logisch als je naar de betekenis kijkt. Je beweegt dan met een grotere snelheid dus is er een grotere verandering.

De lengte van een vector u heeft inderdaad invloed op de waarde van de richtingsafgeleide als je die berekent in de richting van u. Net omdat dat 'niet handig' is, wordt de richtingsafgeleide meestal gedefinieerd in de richting van een eenheidsvector. Als u geen lengte 1 heeft, dien je dan u eerst te normaliseren (u/||u||) en dan de richtingsafgeleide te berekenen in de richting van die eenheidsvector.

Wanneer je enkel in een richting geïnteresseerd bent, dan maakt het niet uit met welk veelvoud van u je werkt.
Het maakt ook niet uit als je enkel geïnteresseerd bent in het teken (pos./neg./nul) van de richtingsafgeleide, bv. om te weten of een functie in die richting stijgt of daalt.
Maar als om een of andere reden de precieze waarde (en dus grootte) van de richtingsafgeleide van belang is, bv. omdat je die voor verschillende richtingen wil berekenen en vergelijken, dan mag je natuurlijk geen appels met peren vergelijken en moet je werken met vectoren van dezelfde grootte; handig is dan om eenheidsvectoren te nemen.

Samengevat: als je vraag is 'hoe het komt' dat die afhankelijkheid er is, dat is gewoon door de definitie of manier van berekenen; bv. via een limiet of met een scalair product tussen de gradiënt en de vector: een langere vector zorgt voor een grotere richtingsafgeleide (in absolute waarde). Als je dat wil vermijden - en soms neemt men dat dus zelfs op in de definitie! - dan werk je steeds met eenheidsvectoren.

Zie bv. ook de bijgevoegde wikipedia-pagina waar men spreekt van '... along a unit vector ...'; idem op de Nederlandstalige pagina.