Geldt Euler's formule voor veelvlakken alleen voor convexe veelvlakken?

Question

Want je hebt bijvoorbeeld dit plaatje (prachtig getekend in paint)
Je kan de driehoek die links naar binnen in het vierkant staat "naar buiten drukken" zodat het aantal vlakken, ribben en hoeken gelijk blijft maar de figuur is toch van concaaf naar convex gegaan.

 · Accepted Answer

Ja, want bij het convex maken van concaaf en andersom trek je namelijk geen extra ribben tussen de hoekpunten. Het aantal hoekpunten blijft ook gelijk, alleen de groottes van de hoeken veranderen, en die groottes hebben geen invloed op de formule. De vlakken blijven ook gelijk, dwz het bovenvlak van een concaaf wordt het basisvlak van een convex.

 · Answer

De formule van Euler, Z - R + H = 2 is simpel te begrijpen. 
Neem een eenvoudig ruimtelijk veelvlak, een kubus. 
Doe alsof het bovenvlak een flexibel vlies is. 
Steek je vinger erdoorheen, en maak het gat steeds 
wijder, en duw het vervolgens tegen het benedenvlak. 
Je krijgt nu een zogenaamd Schlegel diagram (fig.1).
De formule van Euler is hier nog steeds van toepassing.

Ga nu uit van een eenvoudige beginsituatie, een vlak 
met een enkel hoekpunt (fig.2). 
Er geldt: Z=1, R=0, H=1. Dus Z-R+H=2. 
Trek nu een ribbe vanuit dit punt. 
Er komt een Ribbe en een Hoekpunt bij (fig.3). 
Er geldt: Z=1, R=1, H=2. Dus Z-R+H=2. 
Trek nog een ribbe (fig.4). 
Er geldt: Z=1, R=2, H=3. Dus Z-R+H=2. 
Trek een ribbe van Hoekpunt 3 naar hoekpunt 1 (fig.5).
Nu wordt het vlak gesplitst. 
Er geldt: Z=2, R=3, H=3. Dus Z-R+H=2.

Zo kun je alle mogelijke Schlegel diagrammen maken (die 
alle mogelijke ruimtelijke veelvlakken representeren) 
waarbij je of een Ribbe en een Hoekpunt toevoegt, 
of een Ribbe en een Zijvlak. 
Telkens blijft Z-R+H=2.

Geldt Euler's formule voor veelvlakken alleen voor convexe veelvlakken?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (1)

Weet jij het beter..?