Hoe moet je deze vergelijking, met behulp van een eenheidscirkel, exact oplossen? : sin(2x-(1/3)phi) = 1

Question

Ik moet dit kunnen oplossen aan de hand van een eenheidstabel, maar ik begrijp niet waarom ik 1 dan kan vervangen door (1/2)phi + k * 2phi.
Ik zie de logica er niet echt van in. Tot nu toe neem ik het steeds over uit mijn boek, maar hoe kan ik dit uit mijn hoofd berekenen?

 · Accepted Answer

Het gaat erom wanneer een sinus 1 is. Dat is precies boven op de eenheidscirkel. De totale cirkel is 2pi per definitie. Daarom zit je bij een kwart cirkel draaiend naar links op 1/2 pi. Als je ook nog een of meerdere hele cirkels erbij optelt of aftrekt kom je ook weer in hetzelde punt uit (k*2pi, k element Z)
Nu schrijf je in plaats van 1 de sin(1/2 pi + k pi). Dan neem je links en rechts de arcsinus en houd je een vergelijking in x en pi over. Daarna druk je x uit in k en pi. In je vraagstelling zit een fout want ipv pi schrijf je phi. Met de griekse letter phi worden normaal gesproken variabele hoeken bedoeld. In dit geval gebruik je echter pi.

 · Answer

Je hebt hier twee variabelen: phi en x. Is er een waarde bekend voor phi of x? Anders kan je desnoods proberen x uit te drukken in phi en andersom. Wat moet je precies doen?

Toegevoegd na 6 minuten:
arcsin(1) = 2x - phi/3
met arcsin(1) = pi/2 + 2kpi (k element van Z) (pi ~ 3.14 ... )

Oftewel

pi/2 + 2kpi = 2x - phi/3
Hieruit kan je gemakkelijk x en phi afleiden:

x = (1/2)(pi/2 + 2k*pi + phi/3)
phi = -3(pi/2 + 2k*pi - 2x)

Toegevoegd na 59 minuten:
Aha.... phi was dus geen variabele maar pi... dat verandert de zaak. Dan klopt de uitwerking van je boek.

Omdat sin(x) = 1 als x = pi/2 is
arcsin(1) = pi/2.

sin(x) heeft ook ene periode van 2pi. (herhaling) Dus arcsin(1) = pi/2 + 2k*pi. k is een geheel getal. Nu nemen we ook al die herhalingen mee. Snap je?

Toegevoegd na 1 uur:
cos(x) = 0 is een uitzondering. Net als cos(x) = 1 trouwens.
Zie je het grafiek van sin(x) en cos(x) een beetje voor je? Dat helpt!

In een periode, snijdt cos(x) de y=0 lijn twee keer. Op 1/2pi en 1 1/2 pi.

Aangezien hij snijdt op

1/2 pi + 2*k*pi en 1 1/2 pi + 2*k*pi

kunnen we dit versimpelen naar

1/2 pi + k*pi

Hoe moet je deze vergelijking, met behulp van een eenheidscirkel, exact oplossen? : sin(2x-(1/3)phi) = 1

Het beste antwoord

Andere antwoorden (1)

Bekijk alle vragen in deze categorieën: