Is deze stelling wel correct? (begrensdheid bij functies van meerdere veranderlijken)

- "Compact impliceert toch begrensdheid?"
Ja, maar dat is niet wat de stelling zegt (over een verzameling). S is compact (en dus per definitie begrensd!) maar dat wil nog niet zeggen dat de functie f ook 'begrensd is op S', dat gaat over de verzameling van beelden f(S) van die functie.

Een sterkere stelling zegt dat ook die compact zal zijn, in jouw stelling wordt er enkel gesproken over begrensd. Meer algemeen geldt dus het volgende: als f:S->R continu is op S en S is compact, dan is ook f(S) compact. Als f niet continu is, is dit niet noodzakelijk zo.

In het bijzonder geldt dat f(S) dus begrensd is, want compact impliceert (inderdaad) begrensd. Voor de duidelijkheid: we noemen de functie zelf 'begrensd op S' als de beeldverzameling f(S) begrensd is.

Helpt dit?