Wat is de algemene oplossing van y'' + 3y' - 4 = 0 ?

Ik stel:
u = y' ; {MAG DIT???}
dan u' + 3u - 4 = 0
herschrijven naar
u' + 3u = 4
Linear ODE dus integreerfactor zoeken:
e^{3x} lijkt me wel wat :) dan:

u e^{3x} = \integraal (4 e^{3x} )dx

Integraal oplossen door stellen:
a = 3x
da = 3dx
dus integraal 4 e^{3x}dx = 4/3 e^{3x}
toch?

u e^{3x} = 4/3 e^{3x}
u = 4/3
y' = 4/3
y = 4/3 x + C ?? zoiets

Wolframalpha doet iets totaal anders en ik heb weinig vertrouwen in dit antwoord...

Toegevoegd na 2 uur:
Oké, invullen geeft dat deze oplossing werkt, maar mijn vraag zit 'm in het feit: zijn dit echt alle oplossingen? Met deze familie gegeven?
Zijn er niet meer oplossingen voor dit vraagstukken die nog niet worden omvat door y = 4/3 x + C ??

Toegevoegd na 3 uur:
Aha.... Waarom is die extra-oplossing zo te vinden (zie antwoord MorpheusFT) en moet ik die optellen bij mijn eigen oplossing???

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

in: Wiskunde

1.1K

1.1K keer bekeken

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Het beste antwoord

Ik heb het even nagerekend, jouw antwoord is volgens mij prima.

I = e^3x
u' * I + I' * u = 4e^3tx

dus (u * I)' = 4e^3x

u * I = 4/3 e^3x

u = 4/3

y = 4/3x + C

Toegevoegd na 2 minuten:
En ja, je mag zeker zeggen u = y'.

Toegevoegd na 1 uur:
u' + 3u = 4

Dit is een non-homogeneous equation (de rechterzijde is niet gelijk aan nul).

Dus de oplossingen van u' +3u = 0, moet je bij de particular solution optellen, om de general solution te krijgen.

Dus je oplossing klopt wel, maar is niet de enige oplossing. Ik had het zelf ook gemist, is al een tijdje geleden dat ik dit gedaan heb.

Dus wat Wolfram|Alpha zegt klopt.

Toegevoegd na 1 uur:
De volledige oplossing:

Toegevoegd na 19 uur:
Ik heb nog even nagedacht over hoe het ook al weer zat, dus over waarom je nou eigenlijk die verschillende oplossingen hebt en die bij elkaar op moet tellen.

We noemen die oplossingen ook wel de transient solution en de steady-state solution (ik heb alles in het Engels geleerd).

Als je naar de oplossing kijkt en als x heel groot is, gaat de e-macht term naar nul en houd je alleen de term:

4/3x + c2

over. Dit noemen we dus de steady-state solution, de oplossing waar die op lange termijn naar toe gaat.

De andere term is de transient solution, die alleen belang is bij relatieve kleine waarde van x.

Zie het als een trilling die eerst wild heen en weer gaat door zijn beginwaarden (een duw tegen een slinger bijv.) en uiteindelijke naar een stabiele toestand gaat.

(Lees meer...)

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

@cestbiencovitz:
Dit is de integreerfactor voor de productregel zodat
a'b + b'a = (ab)' :)

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

@MorpheusFT
En heeft u enig idee waarom wolframalpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%2B+3y%27+-+4+%3D+0+) iets met de e-macht doet: y(x) = -1/3 c_1 e^(-3 x)+c_2+(4 x)/3 "The general solution will be the sum of the complementary solution and particular solution."
Hoe zit dit dan??

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Ik bedoel hier dus mee, zijn dit alle oplossingen?

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Je zou kunnen zeggen dat we de e-macht onnodig gebruiken, omdat dit een relatief simpel probleem is. Als het ingewikkelder wordt, is het niet altijd meteen duidelijk wat de oplossing is, of hoe die eruit moet zien.

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

@Cestbiencovitz het gebruik van die e-macht is een gewoonte bij het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen van de 1e orde. Daarom gebruik je die automatisch. We zien ook dat we hem kunnen wegstrepen :). (Dit kan tevens, zoals iedereen vast weet omdat e^{u} nooit 0 kan worden.). Inderdaad, zoals Morpheus FT al zegt: bij meer complexe problemen liggen oplossingen veel minder voor de hand en zal de e-macht ook soms in het finale antwoord blijven. Hoe we op de e-macht komen? Via een differentiaalvergelijking. Als we de productregel willen gebruiken moeten we voldoen aan: (y u)' = y'u + u'y (u=factor) In dit geval: u' = 3u
du/dx = 3 u
du/u = 3dx
ln(u) = 3x + C
u = Ce^{3x}
dus we gebruiken daarom hier e^{3x}...

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

@MorpheusFT:
ik heb de bijwerking gezien van je antwoord...
maar waarom moet ik dat optellen, dat zie ik niet :S
sorry als dat onnozel is :)

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Omdat de general solution ALLE mogelijke oplossingen geeft, voor c1 en c2 kun je van alles invullen en nog klopt die. c1 en c2 zullen afhangen van je initial conditions (bijv. y(0)=0 ). En waarom dat nou zo is? Dat kan ik ook zo 1.2.3 niet vertellen.

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

@cestbiencovitz: waarschijnlijk omdat men onvoldoende tijd heeft gestopt in het analyseren van het probleem (en deze makkelijke oplossing over het hoofd zag) en in dit geval ging ik automatisch uit van deze factor omdat ik nog niet wist hoe complex het probleem was. Ik heb nooit van mijzelf gevonden dat ik wiskundig inzicht heb :)

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Het mooie aan de algemene oplossing (general solution) is dat je nu kunt oplossen voor twee onbekenden in plaats van 1 onbekende als je alleen de particular solution hebt. Bij de particular solution kun je als je y(0) weet, oplossen voor c2. En bij de general solution als je y(0) en y'(0) weet, kun je oplossen voor c1 en c2.

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Oké :) Het idee erachter snap ik nu. Het ligt dus ook aan je IVP (beginwaardenprobleem) wat je doet denk ik dan?
Ik zal eens wat meer backgroundresearch doen over dit fenomeen (optellen van die oplossingen) maar in ieder geval hartstikke bedankt!

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Maar als ik die oplossing voor y(x) invul in de ODE krijg ik toch geen 0?? of ligt dat aan mij? Hoewel je dan natuurlijk -2e^(-3x) overhoudt, wat dan convergeert en dus 0 wordt? En daarom zou het kloppen :)?

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Nee, dat klopt, voor de general solution moet je ook geen nul krijgen, maar 4. y''+ 3y' = 4
-3*c1*e^-3x+3*(c1*e^-3x + 4/3) = 4. (Wat dus klopt) Het transient gedeelte van de oplossing vind je dus door de rechterzijde gelijk te stellen aan nul. y'' +3y' = 0
geeft: y = -1/3*c1*e^-3x y''+ 3y' = 4
geeft in eerste instantie alleen 4/3x + c2, maar je ziet dus dat je samen met de oplossing voor y'' +3y' = 0 een algemenere oplossing krijgt voor de differentiaal vergelijking.

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

OH zo... ik denk dat ik het verkeerd heb ingevuld. Ik zal nog eens kijken! Bedankt in ieder geval!

Weet jij het beter..?

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

0 / 5000