Hoe groot is de kans dat je minimaal 3 óf meer positieve ogen gooit met 6 dobbelstenen?

1 dobbelsteen heeft 6 ogen. De ogen 1, 2 en 3 zijn negatief, en de ogen 4, 5 en 6 zijn positief.

Jij gooit 6 dobbelstenen tegelijkertijd op tafel.

Hoe groot is de kans dat je minimaal 3 óf meer positieve ogen gooit?

is dit 50% of 65.62%, en waarom?

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

in: Wiskunde

2.1K

2.1K keer bekeken

Geef jouw antwoord

Antwoorden (5)

de kans is inderdaad 50%, als je het zo voorsteld. Per dobbelsteen heb je 50% kans om een positief getal te gooien. Omdat je er 6 gooit heb je 6x 50% kans om een positief getal te gooien.

Toegevoegd na 7 minuten:
wanneer je 1 dobbelsteen hebt gegooit en deze is negatief stijgt je kans niet om de volgende positief te gooien.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Klopt, de kans is 50%.
Sterker nog: het maakt niet eens uit met hoeveel dobbelstenen je gooit.
Met één is het 50%. Met twee ook. Het is altijd 50%, want 3 van de 6 is altijd de helft.

Toegevoegd na 27 seconden:
En het is dus ook 50% kans om een negatief getal te gooien.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Ik heb alle mogelijke worpen voor je uitgeschreven. Elke dobbelsteen kan een + of een - zijn (positief of negatief). Dan blijken er 64 mogelijke worpen te zijn - zie onderstaande lijst.

Van die 64 mogelijke worpen kun je tellen welke er voldoen aan jouw voorwaarde dat drie of meer van de zes stenen positief zijn. Dat blijken er 42 te zijn.

42 van de 64 worpen voldoen dus aan jouw voorwaarde - dat is dus 65,625% van de worpen.

Eerste kolom: de worp, uitgedrukt in + of -
Tweede kolom: aantal positieve stenen in de worp
Derde kolom: voldoet deze worp aan de voorwaarde?

- - - - - - . . . 0 . . . nee
- - - - - + . . . 1 . . . nee
- - - - + - . . . 1 . . . nee
- - - - + + . . . 2 . . . nee
- - - + - - . . . 1 . . . nee
- - - + - + . . . 2 . . . nee
- - - + + - . . . 2 . . . nee
- - - + + + . . . 3 . . . ja
- - + - - - . . . 1 . . . nee
- - + - - + . . . 2 . . . nee
- - + - + - . . . 2 . . . nee
- - + - + + . . . 3 . . . ja
- - + + - - . . . 2 . . . nee
- - + + - + . . . 3 . . . ja
- - + + + - . . . 3 . . . ja
- - + + + + . . . 4 . . . ja
- + - - - - . . . 1 . . . nee
- + - - - + . . . 2 . . . nee
- + - - + - . . . 2 . . . nee
- + - - + + . . . 3 . . . ja
- + - + - - . . . 2 . . . nee
- + - + - + . . . 3 . . . ja
- + - + + - . . . 3 . . . ja
- + - + + + . . . 4 . . . ja
- + + - - - . . . 2 . . . nee
- + + - - + . . . 3 . . . ja
- + + - + - . . . 3 . . . ja
- + + - + + . . . 4 . . . ja
- + + + - - . . . 3 . . . ja
- + + + - + . . . 4 . . . ja
- + + + + - . . . 4 . . . ja
- + + + + + . . . 5 . . . ja
+ - - - - - . . . 1 . . . nee
+ - - - - + . . . 2 . . . nee
+ - - - + - . . . 2 . . . nee
+ - - - + + . . . 3 . . . ja
+ - - + - - . . . 2 . . . nee
+ - - + - + . . . 3 . . . ja
+ - - + + - . . . 3 . . . ja
+ - - + + + . . . 4 . . . ja
+ - + - - - . . . 2 . . . nee
+ - + - - + . . . 3 . . . ja
+ - + - + - . . . 3 . . . ja
+ - + - + + . . . 4 . . . ja
+ - + + - - . . . 3 . . . ja
+ - + + - + . . . 4 . . . ja
+ - + + + - . . . 4 . . . ja
+ - + + + + . . . 5 . . . ja
+ + - - - - . . . 2 . . . nee
+ + - - - + . . . 3 . . . ja
+ + - - + - . . . 3 . . . ja
+ + - - + + . . . 4 . . . ja
+ + - + - - . . . 3 . . . ja
+ + - + - + . . . 4 . . . ja
+ + - + + - . . . 4 . . . ja
+ + - + + + . . . 5 . . . ja
+ + + - - - . . . 3 . . . ja
+ + + - - + . . . 4 . . . ja
+ + + - + - . . . 4 . . . ja
+ + + - + + . . . 5 . . . ja
+ + + + - - . . . 4 . . . ja
+ + + + - + . . . 5 . . . ja
+ + + + + - . . . 5 . . . ja
+ + + + + + . . . 6 . . . ja

Toegevoegd na 9 minuten:

De stippen dienen slechts om ruimte te maken

Cryofiel

13 jaar geleden

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Ik wilde zo graag een antwoord met combinaties en permutaties, maar hier is geen speld tussen te krijgen :D

Cryofiel

13 jaar geleden

Dat kan ook, hoor. Het aantal manieren waarop je van 6 worpen er 'n' positief krijgt, is "6 boven n" (dat kan ik hier niet anders typen dan zo). "6 boven n" is gedefinieerd als 6! gedeeld door (n! maal (6--n)!), waarbij de ! voor faculteit staat. Het aantal manieren om 3 positief te hebben is "6 boven 3", en dat is 20.
Het aantal manieren om 4 positief te hebben is "6 boven 4", en dat is 15.
Het aantal manieren om 5 positief te hebben is "6 boven 5", en dat is 6.
Het aantal manierem om 6 positief te hebben is "6 boven 6", en dat is 1. Samen is dat 20+15+6+1, dus 42. In totaal zijn er 2^6 mogelijkheden. 42 daarvan voldoen dus aan de voorwaarde. -- Controle:
Het aantal manieren om 2 positief te hebben is "6 boven 2", en dat is 15.
Het aantal manieren om 1 positief te hebben is "6 boven 1", en dat is 6.
Het aantal manieren om 0 positief te hebben is "6 boven 0", en dat is 1. Samen is dat 15+6+1, dus 22. Dus 42 mogelijkheden voldoen wel aan de voorwaarde, 22 mogelijkheden voldoen niet een de voorwaarde. Samen is dat 42+22, dus 64 - en dat is precies het totaal aantal mogelijkheden van 2^6.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Serieus floris?.... lees gewoon nog een keer die 2 hele verhalen van cryo.. Hij heeft gewoon letterlijk alle worpen voor je uitgeschreven, dus je kan gewoon ZIEN dat het 66% kans is, en NOG geloof je het niet?

Cryofiel

13 jaar geleden

Ik denk dat FlorisBoening de volgende twee kansen met elkaar vergelijkt: a) De kans om 3 of meer positief te hebben.
b) De kans om 3 of meer negatief te hebben. Beide kansen zijn inderdaad 65,625%. Samen 131,25%. Hoe kan dat? Dat komt doordat je de kans dat je *precies* 3 positief en 3 negatief hebt, zowel bij a) als bij b) meerekent. Die mogelijkheid telt dus dubbel. Het aantal manieren waarop je precies 3 positief en precies 3 negatief kunt hebben, is "6 boven 3", en dat is 20. De kans daarop is dus 20/64, ofwel 31,25%. Die kans heb je zojuist dubbel meegeteld. Als je nu die 31,25% aftrekt van de eerdere uitkomst van 131,25%, kom je precies op 100% uit.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

@Floris, jij vergeet volgens mij dat jij gevraagd hebt naar de kans op MINSTENS 3x positief. Dat is dus de kans op 3 van de 6 positief, PLUS 4 van de 6 positief, PLUS 5 van de 6 positief, PLUS allemaal positief. Denk eens hieraan:
Als je 10x met een euro gooit, hoe groot is de kans dat je dan MINSTENS 2x kop gooit? Logisch dat die kans groter is dan 50% toch?
Net zoals de kans dat je MINSTENS 2x munt gooit. Ookal is de kans op 1x gooien 1x kop = 50%

Cryofiel

13 jaar geleden

Ik heb zojuist de kans op "3 of meer positief" (dus de oorspronkelijke vraagstelling) in formulevorm toegevoegd aan mijn antwoord.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

+ voor het juiste antwoord, met geweldige uitgebreide uitleg

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Het is volledig logisch, alleen jij snapt het gewoon niet. Ik vrees ook dat dat voorlopig niet gaat gebeuren. Beter dan dat Cryo het uit heeft gelegd kan het niet uitgelegd worden, dus succes ermee.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Inderdaad Floris, dat is echt heel eigenwijs.
Ander voorbeeld: er is 10% kans op regen en 10% kans op zon. Er is evenveel kans op zon als op regen.
Is er dan 50% kans op regen en 50% kans op zon?

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

kansberekening gaat juist om vooraf.
Ik snap Floris wel, het is op het eerste gezicht ook gek. Maar er zijn niet 6 uitkomsten, maar 7. (0,1,2,3,4,5 en 6 positief). Daarom is het geen 50%. 4 van de 7 combinaties voldoen aan de eis, maar niet elke combinatie komt evenveel voor, daarom is de kans NIET 4/7.
In de uitwerking Cryo kan je zien dat er maar 1 mogelijkheid is voor 0 en 6, maar meerdere voor bijvoorbeeld 2.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Wat een discussie. Dit kan niemand toch weerleggen? Gewoon een plus hoor, cryo

Cryofiel

13 jaar geleden

Dank je, 09090989 (en anderen). Ik kan misschien nog een ander voorbeeld geven. Neem de Nederlandse vlag, en ga er even van uit dat de drie banen (rood, wit, blauw) even breed zijn. Je hangt de vlag tegen een prikbord, en je gooit geblinddoekt een dart-pijltje naar de vlag. We gaan er even van uit dat je altijd de vlag raakt, en dat het pijltje de vlag op een volkomen willekeurige plek raakt. (Niet helemaal realistisch, maar voor het voorbeeld is dit handig.) Goed, wat is de kans dat je rood treft? Die is 1/3 (of 33% als je dat liever ziet). De kans dat je wit treft is ook 1/3, en de kans dat je blauw treft ook. Maar nu stellen we een vraag die meer lijkt op de vraag van FlorisBoening. We noemen 'rood of wit' positief, en we noemen 'wit of blauw' negatief. Hoe groot is de kans dat je positief scoort met je pijltje? Die kans is 2/3. Hoe groot is de kans dat je negatief scoort met je pijltje? Die kans is ook 2/3. De kans op positief is dus hetzelfde als de kans op negatief. Maar ze zijn NIET 50%! Dat komt doordat de definities van 'positief' en 'negatief' elkaar gedeeltelijk overlappen. Daardoor wordt het totaal van de beide kansen groter dan 100%. Bij de dobbelstenen geldt hetzelfde.

Cryofiel

13 jaar geleden

Mijn vergelijking was bedoeld om aan te geven waarom "minimaal 3 positief" en "minimaal 3 negatief" allebei een kans van 65,625% konden hebben - dus allebei hetzelfde, maar toch allebei groter dan 50%. Om op jouw reactie in te gaan: de kans dat je *exact* drie positieve dobbelstenen gooit is geen 50%. Daarover zijn we het dus *niet* eens. Je kunt het natellen in mijn lijstje: het aantal regels met precies 3 plussen is 20. Dus in 20 van de 64 mogelijke worpen gooi je exact drie positieve worpen. De kans daarop is 20/64, ofwel 31,25%. Ruim onder de 50%. Wat je met je laatste alinea bedoelt, begrijp ik niet. Na elke drie positieve dobbelstenen, blijft de kans op een negatieve dobbelsteen gelijk.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Geef 't maar op cryo..
Hij kan in 't lijstje gewoon ZIEN dat de kans op 3 dobbelstenen niet 50% is, en NOG gelooft ie het niet.
Hopeloos gevalletje vrees ik.

Cryofiel

13 jaar geleden

Ik denk dat hij wel degelijk inziet dat de situatie zoals die te zien is, afwijkt van zijn begrip. Hij snapt dat zijn begrip niet overeenstemt met de werkelijkheid. Hij is nu op zoek naar een verbeterd begrip, dat wél overeenkomt met de werkelijke situatie. Dat lijkt mij een prima uitgangspunt. Zo ben ik zelf ook verder gekomen, zowel bij wiskundige vragen als bij vragen over de wereld om ons heen. Ik begréép het ene, maar zág iets heel anders. Kortom, ik had het dus mis. Maar ik snapte het niet. De beste manier om tot meer cq beter inzicht te komen is dan, proberen je begrip te verbeteren. Dat leidt ertoe dat je de situatie niet alleen accepteert (wat natuurlijk wel de eerste stap is), maar ook begrijpt. Ik heb die stappen een aantal malen moeten/willen/kunnen maken. Ik verwacht dat ik die stappen nog een aantal keer zal gaan maken. Voor mij is dit altijd heel waardevol gebleken.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Gast, jij bent echt TE zachtaardig af en toe hoor. Zo'n leraar die zegt "domme vragen bestaan niet" Als die jongen door heeft dat hij iets niet begrijpt, dan moet ie niet TOCH gaan reageren en zeggen dat wat jij zegt niet klopt, dan moet ie gaan nadenken over waarom hij het niet begrijpt. Net zo lang lezen en uitzoeken tot hij het wel begrijpt, en zichzelf niet herhaaldelijk voor aap zetten door jou en je duidelijk onderbouwde antwoord tegen te spreken. Jouw uitspraak: "beste manier om tot beter inzicht te komen is proberen je begrip te verbeteren" vind ik een holle en betekenisloze uitspraak. In feite staat daar gewoon "de beste manier om iets beter te begrijpen is door iets beter te begrijpen". Joh?! Er zijn meer wegen die naar Rome leiden. De ene is nog eens goed bij jezelf te rade gaan waarom je iets niet snapt en alles nog eens goed door lezen. De andere is door stug vol te blijven houden dat de correcte uitleg niet klopt. Die laatste zit jij nu te verdedigen.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Haha, he he er wordt er eindelijk een wakker.
En nu die hersentjes aanzetten en cryo's antwoord nog een keer lezen floris!

Cryofiel

13 jaar geleden

Heren, heren - beetje dimmen graag! Floris, ik moet eerlijk zeggen dat jouw reactie nogal neerbuigend overkomt. Alsof je een blikje op straat gooit, daar door iemand op wordt gewezen, en vervolgens die persoon begint uit te schelden - zo komt het over. Ik sluit me wel aan bij de laatste zin van j0ve, maar ik denk dat je dat sowieso al van plan was.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Ik vind 't niveau van zijn reactie wel passen bij zijn wiskundig inzicht eigenlijk.
Dat je op 't VMBO zit is heus geen schande, maar dan moet je wel accepteren dat er veel mensen zijn die slimmer zijn dan jij (haha ooh ik zit nu echt uit te lokken, heerlijk)

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Ik vermaak me kostelijk hier! Waarvoor dank :)
En ook hartelijk bedankt dat jij uberhaupt geen foto op je profiel hebt gezet floris :P

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

@Cyrofiel
Ik heb inderdaad even de veel voorkomende rekenmachine variant er maar achter geschreven --- kunnen mensen 'm nadoen als ze zelf niet weten hoe het in te voeren. Ik heb hem zelf niet zo berekend, maargoed. Conventie :) [toen ik hierin lezingen gaf]
Maar inderdaad, die sommatie komt op hetzelfde neer... Ik dacht, laat ik dit op de 'distributie' manier doen. Gewoon andere notatie; meer is het niet.

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

nog kanslozer dan je al bent? Dat lijkt me stug :P
Jij bent!

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Misschien is dat VMBO humor, maar die snap ik even niet. Wat is er met mijn punten?

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Haha goeie!
Maar leg eens uit dan?

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Je komt een beetje warrig over nu floris. Eerst begin je over punten, en nu over dat ik mijn haren verf?
Ik verf mijn haren niet. Jij? Ben je stiekem een beetje gefascineerd door mijn foto floris?

Abstracte variant (Cyrofiel klopt, geldt ter ondersteuning; gaat me niet om de punten hoor :)):

X ~ B(6, 1/2)
X = aantal positieve ogen
6 experimenten, kans op 1 positief oog 1/2

P(X >= 3) = 1 - binomcdf(6, 1/2, 2) = 0,65625

--> Kans is dus 66% (2 signf. getallen).

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Snelste manier zonder binomcdf te gebruiken is als volgt:

1. Reken uit wat de kans is dat je precies 3 positieve ogen gooit:

P(3 positieve) = (1/2)^3 * (1/2)^3 * 6ncr3
= (1/2)^6 * 6ncr3 = 0,3125

6ncr3 moet je doen omdat er zoveel mogelijke rangschikkingen zijn van 3 keer oneven en 3 keer even dit is gelijk aan 20.

2. De kans dat je 0, 1, 2, 4, 5 of 6 keren positief gooit is de complementaire kans, dus:

P(0 1 2 4 5 6) = 1-0,3125 =0,6875

3. Omdat de kans op 0, 1 of 2 keer even ogen precies gelijk is aan 4, 5 of 6 keer even ogen geldt dus:

P(4 5 6) = 0,5 * 0,6875 = 0,34375

4. Die twee bij elkaar optellen en klaar:

P(3 4 5 6) = 0,34375 + 0,3125 = 0,65625

5. Als je dit goed doorhebt kan je inzien dat je ook met het eerste getal meteen op het goede antwoord uit kan komen:

P(3 4 5 6) = 0,5 + 0,5*0,3125 = 0,65625

Dus de kans is afgerond 65,6%

Verwijderde gebruiker

13 jaar geleden

Deel jouw antwoord

Bekijk alle vragen in deze categorieën:

Wetenschap

Aardrijkskunde

Astronomie

Biologie

Filosofie

Natuur- en scheikunde

Psychologie

Sociale wetenschap

Techniek

Wiskunde