Hoe kan het, dat als de som van alle cijfers van een getal deelbaar is door drie, het getal zelf ook deelbaar is door drie?

Niet altijd het geval. Kijk bijvoorbeeld naar 21. 21/3=7 7 is niet deelbaar door 3. Maar dit komt naar mijn idee omdat heel veel getallen deelbaar zijn door 3. Hoe dichter het getal bij de 1 zit hoe meer getallen het kan delen. Alle getallen zijn logischerwijze deelbaar door 1. Alle even getallen zijn deelbaar door 2.

19 => 1 + 9 = 10 niet deelbaar door 3

Het lijkt wel of mensen het niet snappen...
*zucht*

HALLO:

Om te bepalen of een getal deelbaar is door 3, tel je alle cijfers bij elkaar op (net zolang je 1 cijfer hebt) en als DAT deelbaar is door 3, is het oorspronkelijke getal dat ook.

Ik ben er een jaar of 10 geleden mee bezig geweest, geen idee meer naar de wiskundige verantwoording: ga het even opzoeken en stuur je PM.

In het engels:

Division by 3

Show that for any natural number n, n mod 3 = r.n mod 3 where r.n is the sum of the decimal digits in n.

Define a natural number as follows:
nat ! digit | (nat,digit)
i.e., a natural number is either a single digit or a pair consisting of a natural
number and a digit. Then r.n can be defined:
r.(d: digit)= d
r.(m, d) = r.m + d
The proof is by structural induction on n.
• n: digit :: n mod 3 = r.n mod 3, because n = r.n
• n = (m, d)::
n mod 3
= {n = 10m + d} (10m + d) mod 3
= {(a + b) mod 3 = (a mod 3 + b mod 3) mod 3} (10m mod 3 + d mod 3) mod 3
= {10m mod 3 = m mod 3} (m mod 3 + d mod 3) mod 3
= {induction hypothesis: m mod 3 = r.m mod 3} (r.m mod 3 + d mod 3) mod 3
= {(a + b) mod 3 = (a mod 3 + b mod 3) mod 3} (r.m + d) mod 3
= {r.n = r.m + d} r.n mod 3

OK?

Heeft volgens mij ermee te maken dat we werken met een decimaal getallenstelsel en dat er dus net 3x3 binnen 10 past. De eerst volgende na 10 is twaalf, dat is een rest van twee (2) boven 1 x tien, en dit is samen 3.

Neem een getal bestaande uit 3 cijfers: abc. Hierin zijn a, b en c de getallen, bijvoorbeeld a=6, b=9 en c=3 -> 693. We nemen nu aan dat a+b+c deelbaar is door 3 en gaan onderzoeken of abc dan ook deelbaar is door 3.

We kunnen abc schrijven als 100*a+10*b+c. Ofwel: 100*6+10*9+3=693. Nu gaan we dit wat anders opschrijven:
100*a+10*b+c = 99*a+a + 9*b+b + c;
Hier staat nog precies hetzelfde als abc. Nu gaan we de som nog iets anders opschrijven, maar nog altijd blijft er abc staan:
99*a+a + 9*b+b + c = (99*a + 9*b) + (a + b + c).

Hieruit kunnen we afleiden dat abc deelbaar is door 3, want: 99*a is deelbaar door 3, 9*b is deelbaar door 3 en (a+b+c) is deelbaar door 3 (dat is namelijk gegeven).

Uiteraard werkt dit ook voor kleinere en grotere getallen dan 3-cijferige.