hoe bereken je de top in een functie?

Een "normale" functie (wiskundig gezegd: een continue en continu differentieerbare functie) loopt horizontaal op de top.

Op de plek waar zo'n functie horizontaal loopt, loopt natuurlijk ook de raaklijn horizontaal. Dat betekent dat de eerste afgeleide nul is.

Begin dus met differentiëren om de eerste afgeleide te bepalen. In jouw voorbeeld is dat f'(x)=3x²-48. Die is nul voor x=4 en voor x=-4.

Nu moet je alleen nog kijken of je voor die twee x-waarden een top of een dal hebt - de raaklijn is namelijk niet alleen in een top horizontaal, maar ook in een dal.

Dat kan in dit geval heel simpel door de functie ruw te tekenen. Dan zie je dat je bij x=-4 een lokale top hebt, en voor x=4 een lokaal dal.

Je kunt het ook wiskundig doen door de tweede afgeleide te berekenen. Dus nogmaals differentiëren. Je krijgt dan f''(x)=6x.

Voor x=-4 is de tweede afgeleide negatief. Dat betekent dat de *eerste* afgeleide daar steeds kleiner wordt, dus dat de raaklijn steeds meer daalt; en dat betekent dat je daar een (lokale) top hebt.

Voor x=4 is de tweede afgeleide positief. Dat betekent dat je daar een (lokaal) dal hebt.

--

Deze methode is toe te passen voor elke continue en continu differentieerbare functie. In de praktijk van de middelbare school betekent dat: voor elke functie die je tijdens je lessen zult tegenkomen, behalve voor functies waarin de absolute waarde wordt genomen, en voor functies die ongedefinieerde punten hebben (bijvoorbeeld omdat je door nul deelt).

Je kunt dit dus heel gewoon en heel precies op papier doen. Een grafische rekenmachine heb je niet nodig.

Je moet altijd de afgeleide functie gelijkstellen aan 0.
Uit die vergelijking komt de x-waarde, waarvoor de functie een top heeft.
Vervolgens vul je die waarde in in je originele functie en dan heb je ook de y-waarde bij je top.

Om de top te berekenen moet je de afgeleiden gelijk stellen aan 0 (x-coördinaat) en de uitkomst daarvan invullen in de oorspronkelijke formule (y-coördinaat) de oplossing(en) die je dan krijgt zijn de coördinaaten van de top.

f(x)=x^3-48x
f'(x)=3x^2-48
f'(x)=0 --> 3x^2-48=0 --> x^2=16 --> x=4 of x=-4 dit zijn de x-coördinaten van de top om de y coördinaten te vinden vul je de x-coördinaten in de oorspronkelijke formule in:
f(4)=4^3-48*4=-128 of f(-4)=(-4)^3-48*(-4)=256
de coördinaten van de top zijn: (4,-128) en (-4,256).

Nu de formule ax^2+bx+c
f(x)=ax^2+bx+c
f'(x)=2ax+b
f'(x)=0-->2ax+b=0-->x=(-b)/(2a)
f((-b)/(2a))=a*((-b)/(2a))^2+b*((-b)/(2a))+c = (b/(4a))+(-b^2)/(2a)+c= (-2b^2)/(4a) +c
de coördinat is dan: ((-b)/(2a), (-2b^2)/(4a) +c)
Hoop dat ik het laatste goed heb, want het zijn wel erg veel a en b-tjes! ;)
Voor de regels van het afgeleide verwijs ik je naar: http://www.goeievraag.nl/vraag/differentieren.16078

Toegevoegd na 2 minuten:
Om te kijken of het geen dal is kan je de grafiek schetsen of plotten (met een GR) en aan de hand van de grafiek kan je bepalen of je met een dal of een top te maken hebt (ik neem aan dat je nog op de middelbare school zit en dan voldoet deze methode nog).

Toegevoegd na 7 minuten:
f(-4)=(-4)^3-48*(-4)=256 moet 128 zijn dus dan worden de coördinaten: (4,-128) en (-4,128)

om een top de berekenen moet je de afgeleide bepalen en die aan 0 stellen.
f(x)=x^3-48x
dan is de afgeleide
f'(x)=3x^2-48
afgeleide aan 0 stellen
3x^2-48=0
3x^2=48
x^2=16
x=16^0,5 (^0,5 is het zelfde als wortel van, maar ik heb geen wortel teken)
x=4 of x=-4.

De x waarde van de top is dan 4 of -4.
deze vul je dan in in de oorspronkelijke formule.
f(4)=4^3-484=-128
f(-4)=(-4)^3-48(-4)=128
dan zijn de toppen dus (4;-128) en (-4;128)

Toegevoegd na 1 uur:
Hoe de afgeleide te bepalen?

ik kan het niet heel goed uit leggen maar zal het proberen met een paar voorbeeldjes

De afgeleide van 8X is 8, je haalt als het waren de x weg.
de afgeleide van X^3 is 3X^2 de macht zet je voor de x en je haalt dan 1 van de macht af. dit geld ook voor X^4 de afgeleide is 4X^3, en voor X^5 de afgeleide is 5X^4 enz...
dan is de afgeleide van X^2 is 2X^1 maar X^1 is het zelfde als x dus is de afgeleide 2X.

als je dit dan in een som krijgt
f(X)=X^2+8X
dan is de afgeleide f'(x)=2X+8

g(X)=X^3-X^2+8X
dan is de afgeleide g'(x)=3X^2-2X+8

ook heb je nog de variant 2X^3 er staat dus nog iets voor de X, als je dan de macht voor de X zet krijg je (2×3)X^2 dit wordt dan weer 6X^2.

als je dit dan in een som krijgt
h(X)=6X^2+6X
dan is de afgeleide h'(x)=12X+5

i(X)=0,75X^7+X^4-8X
dan is de afgeleide i'(X)=5,25X^6+4X^3-8

Ik hoop dat je het nu snapt, als je het nog niet snapt vraag het nog eens aan je leraar hij heeft er voor geleerd om het uit te leggen

Omdat je niet weet hoe je moet differentiëren, denk ik dat het niet de bedoeling is dat je deze methode (nu) moet gebruiken. In de toekomst zal dit zeker wel het geval zijn.

Jouw methode doelt waarschijnlijk op Xtop = -b/(2a). Maar let op! Deze functie geldt alleen voor een parabool, een tweedegraadsfunctie dus!

Als je wilt weten waarom het -b/(2a) is zie http://dominguez.nl/links/kwadratische%20vgl%20js/top_help.html

Jouw vraag
"Hoe kan ik de top van een functie berekenen, bij bijvoorbeeld x^3-48x, maar ook met formules in vorm van ax^2+bx+c".

ax^2+bx+c is een tweedegraadsfunctie (duidelijk toch?). Om hiervan de coordinaten van de top te krijgen doe je dus gewoon Xtop = (-b)/(2a) en vervolgens Ytop = f(Xtop)

x^3-48x is dit echter niet, en hierbij zul je dus echte de methode die eerder wordt beschreven moeten gebruiken.