Er is een tijd geweest dat er geen rekenhulpmiddelen bestonden; toch was men in staat ingewikkelde berekeningen te maken; hoe deed men dat toen?

Simpel met pen/potlood en papier.
Eventueel met gebruik van wiskundige formules.
Toen ik op school zat bestonden er nog geen pocket/rekenmachines enzo tegenwoordig veelal zelfs verplicht.
Echter een goeie zaak kan ik dat niet vinden.
Vele caissières bv weten niet eens meer hoe geld terug te tellen of bij te vragen bij betalingen.
De meeste zijn ook slecht in hoofdrekenen omdat ze dat nooit geleerd hebben.
Alle hulpmiddelen hebben wel t voordeel dat ingewikkelde berekeningen veel sneller gaan als vroeger.

Heel simpel, met de hand. Alhoewel, dat was toen natuurlijk niet simpel. Op de eerste site staat meer over de geschiedenis van wiskunde.
Maar je vraagt om zonder hulpmiddelen.. eigenlijk waren er al heel vroeg toch wel een soort hulpmiddelen, lees maar de tweede bron over het Ishango-beentje.

Men maakt die rekenmachines computers, wat ik wil zeggen is de makers waren in staat om een rekenmachine te maken dus hun zullen vast hun methode hebben, bijvoorbeeld 33 x 499 je kunt het makkelijker maken door 33x 500 te doen en dat is 16500. 33 erafhalen blijft er 16467 en dit is slechts een voorbeeld een rekenmachine is een hulpmiddel dat het alleen versnelt zonder de rekenmachine zouden we het ook wel kunnen alleen dan iets langer

Ingewikkelde berekeningen...
Er zijn veel algoritmes beschikbaar (die gebruikt een rekenmachine ook), en deze kunnen mensen helpen berekeningen uit te voeren.
Er zijn altijd wel rekenhulp-achtige dingen geweest.
Wat denk je hiervan? http://en.wikipedia.org/wiki/Difference_engine

De Eerste rekenmachine is overigens al in 2400 BC uitgevonden. In het jaar 820 waren de rudimenten van de moderne Algebra zelfs al vastgelegd.

Vanaf dit moment waren er al hulpmiddelen.
Je zult kunnen stellen, dat zodra er ingewikkelde berekeningen moesten worden gemaakt, er ook meteen logica werd ontwikkeld deze te doen: custom fitted computing aid.

Ik hoop je vraag te hebben beantwoord - naar genoegen.

Wij leerden vroeger nog rekenen met het reken liniaal. Moet je hier maar eens kijken: http://nl.wikipedia.org/wiki/Rekenliniaal

de meeste formules die je rekenmachine nu weet zijn nog uit de tijd voordat er iets als dat bestond.
bijvoorbeeld:
ver voor christus wisten ze in azie al hoe ver het middelpunt van de aarde was.
dit deden ze toen door middel van de stralen van de zon en twee plekken die ver uit elkaar stonden.
op allebei de plekken zette ze een paaltje neer en keken ze naar de schaduw van het paaltje.
naar een paar jaar wisten ze wanneer ze moesten kijken, want dit moest natuurlijk wel tegelijkertijd gebeuren.
toen heeft iemand dus de omtrek en het middelpunt kunnen berekenen met een driehoeks verhouding.

Voor de goede orde: wij hebben als mensen altijd rekenhulpmiddelen gebruikt, ook al herkennen wij die nu niet alszodanig. Je noemt ze al, maar kleitabletten met streepjes, knopen in een touw, telramen, kompassen en latjes enz. zijn eigenlijk tastbare zaken van de wiskunde als rekenhulpmiddel. Wiskunde maakt rekenen eenvoudig, ook al denken mensen daar anders over. Denk maar aan het getal pi. Daarmee kun je makkelijker de omtrek van een cirkel berekenen. Verder was rekenen monnikkenwerk. Voor het maken van logaritmentafels bijvoorbeeld, zette men tientallen mensen aan het werk. Ieder van hen moest een getal uitrekenen.