Hoe los ik de som log2 op zonder rekenmachine?

Dit is niet mogelijk. Je kan log(2) niet uitrekenen zonder het uit te proberen (eg: 10^0.1 proberen, dan 10^0.2 dan 10^0.3 dan 10^0.31 ect.). Ben 99% zeker dat je een rekenmachine nodig hebt om het uit te rekenen.

je hebt inderdaad een rekenmachine nodig om dit uit te rekenen, maar niet elke rekenmachine is een grafische rekenmachine.
Dus de oplossing is om een rekenmachine te kopen/lenen/huren die wel een logaritme kan uitrekenen maar niet grafisch is (TI-30X).

Er is een elegante methode door middel van systematisch uitproberen met gebruik van wortels,die uit de doeken wordt gedaan door Feynman in introduction to physics vol 1, die werd gebruikt voor het produceren van de eerste logaritmetabellen, maar het is en blijft een lastig klusje. In dit forum ook een verwijzing naar Feynmann en een methode met eerst zoeken naar wortel 10. Het probleem is dat er wel met dehand uitvoerbare methodes zijn om een tabel te maken, maar geen methodes om direct een logaritme uit te rekenen. Vroeger(zelfs nog in mijn tijd werden tabellen gebruikt voor logaritmes, sinussen en statistische functies.

Dit kan wel.
Met benaderen via de taylor expansie.
Vul x=2 in en je krijgt na een aantal operaties een afschatting van log(2) oftewel ln(2).

Toegevoegd na 6 minuten:
TIP: controleer na een aantal, bv 6, operaties of je ongeveer log 2 hebt afgeschat met je rekenmachine.
Dus vul elke keer x=2 in en kijk of je na 6 keer ongeveer ln=log 2 hebt gevonden met nauwkeurigheid van 2 decimalen.

Toegevoegd na 9 minuten:
kun je ook vinden op deze site: http://www.math.com/tables/expansion/log.htm

Toegevoegd na 8 uur:
Je vult voor x x=2 in.
Dus (x-1) =(2-1)=1- 1/2)(x-1)^2=1/2(1)^2=1/2 etc...
Dus je krijgt de volgende serie: 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6 etc..
Verder is het zo dat:
Ln(x) = 2,302585 * Log(x)
Dus het resultaat deel je door 2,302585
en je krijgt dan 0,31 na ongeveer 5 a 6 termen

Als je op het middelbaar onderwijs z\it scoor je goed met deze aanpak....
Dit is nl universitaire wiskunde.

Toegevoegd na 8 uur:
pas na heel veel termen krijg je het juiste antwoord trouwens.

Toegevoegd na 8 uur:
na 100 keer ongeveer, maar de berekening is dan exacter.Maar je moet er maar zin in hebben om dit uit te rekenen....

In de vraag staat log(x) voor de logaritme met grondgetal 10, dus we willen uitrekenen:

ln(2)/ln(10)

Omdat ln(10) = ln(2) + ln(5) moeten we ln(2) en ln(5) uitrekenen.

In de onderstaande link leg ik uit hoe je dit kunt doen (merk op dat daar "log" de natuurlijke logaritme betekent). Je kan gebruik maken van de reeksontwikkeling:

ln(1+y) =ln(y) + 2 [1/(2y+1) + 1/3 1/(2y+1)^3 + 1/5 1/(2y+1)^5 + 1/7 1/(2y+1)^7 + ... ]

Je kan dan naar producten van machten van 2 en 5 zoeken zodanig dat als je daar 1 bij optelt of aftrekt, je een ander zo'n product krijgt. Voor y = 1 vind je een reeksontwikkeling voor ln(2) en voor y = 4 een voor ln(5) (en ln(4) = 2 ln(2) heb je dan al). Maar zoals in de link wordt uitgelegd kun je sneller convergerende reeksontwikkelingen construeren door gebruik te maken van relaties zoals 2^4 = 16 = 15 + 1 = 3*5 + 1 waaruit volgt dat:

4 log(2) - log(3) - log(5) = 2 [1/31 + 1/3 1/31^3 + 1/5 1/31^5 + ...]

Met twee andere zulke relaties kun je snelle reeksontwikkelingen vinden voor ln(2), ln(3) en ln(5). Als je de relaties in de link gebruikt vindt je het volgende resultaat:

ln(2) = 7 A + 3 B + 5 C

ln(3) = 11 A + 5 B + 8 C

ln(5) = 16 A + 7 B + 12 C

waarin A, B en C de volgende reeksen zijn:

A = 2 [1/31 + 1/3 1/31^3 + 1/5 1/31^5 + ...]

B = 2 [1/161 + 1/3 1/161^3 + 1/5 1/161^5 + ...]

C =2 [1/49 + 1/3 1/49^3 + 1/5 1/49^5 + ...]

We kunnen dus schrijven:

Log(10) = (7 A + 3 B + 5 C) / (23 A +10 B + 17 C)