Waarom is 0! = 1?

Je hebt gelijk dat dat niet zomaar opgaat voor 0!, daar moet dus iets apart over te zeggen zijn.

Voor n>1 kan je n! definiëren als n*(n-1)*...*2*1. Voor n = 1 staat er niet eens meer een vermenigvuldiging, maar is het logisch gewoon 1 zelf te nemen. Het is belangrijk in te zien dat er op dit moment (nog) geen reden is om 0! op een of andere manier vast te leggen, we zouden nog vrij kunnen kiezen.
Het feit dat 'men' gekozen heeft voor 0! = 1 heeft redenen, maar je zou dus ook een andere keuze kunnen maken. Het is een afspraak, we stellen 0! per definitie gelijk aan 1. In dat opzicht is het enigszins vergelijkbaar met x^0 gelijkstellen aan 1.

Maar waarom deze keuze? Je kan de faculteit ook op de volgende manier zien: n! = n*(n-1)!; zo is 5! = 5*4! enzovoort. Als we dat als volgt herschrijven:

n! = n*(n-1)! <=> (n-1)! = n!/n

Dit klopt inderdaad voor alle n vanaf 2, met de definitie van faculteit die ik in het begin gaf. Zo is (vul n = 5 in) inderdaad 4! = 5!/5 enzovoort. Als we willen dat deze 'eigenschap' geldig blijft voor n=1, dan staat er:

(1-1)! = 1!/1 dus 0! = 1!/1 = 1

Er zijn nog tal van andere formules met faculteit, bijvoorbeeld in de combinatieleer, die handig bruikbaar blijven met de afspraak dat 0! = 1.
Denk bijvoorbeeld aan combinaties, 'k kiezen uit n' kan op n!/(k!(n-k)!) manieren, misschien heb je die formule al gezien.
Als je wil dat deze formule geldig blijft bij het kiezen van 0 (k = 0) of n (k = n) objecten uit n, dan treedt er in de noemer een 0! op. Toch blijft de formule bruikbaar en geldig, als we tenminste afspreken dat 0! = 1. Als we een andere keuze zouden maken (en dat 'mag' in principe!), moeten we steeds uitzonderingen maken wanneer er een 0! voorkomt.

Je kan het dus best als een 'gebruiksvriendelijke' (en in die zin misschien 'logische') keuze zien: met deze keuze blijven een hoop formules uit de wiskunde die de faculteit gebruiken, ook geldig wanneer er een 0! in opduikt.

Ik voeg twee (Engelstalige) bronnen toe met meer informatie. Reageer maar als er iets niet duidelijk is.