Kan iemand mij een voorbeeld geven van een discreet systeem in de wiskunde?

Een discreet systeem is een systeem waar je alle 'toestanden' nog kan 'tellen' of 'nummeren'. Het kan dus gaan om een eindig aantal toestanden, of om een oneindig aantal toestanden maar waarbij je deze bijvoorbeeld met de natuurlijke getallen kan nummeren (1, 2, 3, ...). Voor een gegeven toestand, kan je voor een discreet systeem steeds spreken over de 'volgende toestand'; dat kan niet in het geval dat een systeem niet discreet is, men spreekt dan van een continu systeem.

Volgend voorbeeld van een discreet systeem is een heel eenvoudig populatiemodel: je begint op t = 0 (in uren) met 1 mier en elk uur verdubbelt het aantal mieren: N = 2 op t = 1, N = 4 op t = 2 enzovoort. Je kan dit ook in een formule gieten: N(t) = 2^t en de aantallen vormen een rijtje: 1, 2, 4, 8, 16 ... Dit is natuurlijk geen erg realistisch model want de populatie neemt onbeperkt toe, er is geen maximale populatie.

Een ander model. Stel we hebben een grote populatie muggen, we noteren N(t) voor het aantal muggen op tijdstip t (in uren), in miljoenen. Een uur later wordt het aantal muggen telkens N(t+1) = sqrt(4.N(t)).
Als op t = 0 het aantal N(0) = 1, dus 1 miljoen muggen. Op t = 1 wordt dat sqrt(4.1) = 2, dus N(1) = 2. Daarna wordt N(2) = sqrt(4.2) = sqrt(8) = 2,8... Bereken zelf eventueel nog enkele volgende aantallen.
Het aantal muggen blijft in dit model toenemen, maar wordt niet oneindig groot: er is een maximale populatie. Ik zal dit in woorden uitleggen, je kan dat ook netjes wiskundig doen. We hebben tot nu toe nooit N > 4 gehad en als je iets dat kleiner is dan 4 vermenigvuldigt met 4 (in de formule N(t+1) = sqrt(4.N(t))), kan je nooit boven de 16 gaan. De vierkantswortel daaruit kan dus nooit groter dan 4 zijn en je zit in dezelfde situatie voor de volgende stap. Het aantal muggen zal dus altijd onder 4 miljoen blijven.