hoe primitiveer ik e^(x^2)?

Dat wordt 1/(2x) * e^(x^2)

Toegevoegd na 4 minuten:
Denk ik, ben zelf nu ook een beetje aan het twijfelen over de x^2.
En het ontwoordt is sowieso nog + c

f(x) = e^(x^2)

F(x) = 0.5 * √(π) * erfi(x) + C

Waarbij erfi(x) de imaginaire errorfunctie van x is.

Toegevoegd na 1 minuut:
Voor de duidelijkheid, dat is de wortel van pi, niet van n of iets dergelijks.

Deze functie heeft geen 'gewone primitieve'. Maar dat verschuift de vraag alleen maar, wat is immers een 'gewone primitieve'? Dat is niet zo eenvoudig...

Deze functie heeft een primitieve functie, dat wil zeggen dat er wel degelijk een functie F bestaat zodat de afgeleide van F precies e^(x²) is. Maar we kunnen die functie niet gemakkelijk opschrijven met de standaardfuncties die we kennen.

Meer precies zegt men dat we deze primitieve niet kunnen schrijven met behulp van een eindig aantal elementaire functies of samenstellingen ervan. Dat zijn de 'gewone functies' die je kent, zoals veeltermen, rationale functies, goniometrische (en hun inverse), exponentiële en logaritmische functies.

Met behulp van deze functies is het dus niet mogelijk een voorschrift van een functie op te schrijven die als afgeleide precies e^(x²) heeft. Toch kan men in de wiskunde tonen dat er zeker een functie bestaat die e^(x²) als afgeleide heeft. De typische 'truc van de wiskundige' is dan als volgt: we weten dat zo'n functie bestaat, dus we *definiëren* de functie gewoon aan de hand van deze eigenschap.

Dat is precies wat die rare functie in het vorige antwoord, de errorfunctie (erf, erfi en andere varianten), betekent. Eigenlijk zit er een integraal in 'verstopt'. We hebben het de naam erf gegeven, maar als je opzoekt wat dat betekent, is het precies de integraal van e^(x²), op eventuele constanten na.

Naast e^(x²) zijn er nog tal van functies waarvoor we de primitieve niet kunnen schrijven met elementaire functies; voorbeelden zijn sin(x)/x, sin(1/x), 1/log(x), x^x ...

Toegevoegd na 3 dagen:
Voor de volledigheid, de primitieven van e^(x²) worden inderdaad gegeven door F(x) = sqrt(pi)/2 * erfi(x) + c.

Hierin is erfi de imaginaire errorfunctie die op de volgende manier in verband gebracht kan worden met de 'gewone' errorfunctie erf: erfi(x) = -i.erf(ix); met i de imaginaire eenheid.

De definitie van die errorfunctie zelf bevat, zoals ik hierboven al zei, eigenlijk een integraal - 'verstopt' in de definitie.