Wat is het nut van een irreëel getal?

De i die jij noemt is wordt in de wiskunde een imaginaire eenheid genoemd, dat is een complexe getal waarbij geldt i²=-1.
De imaginaire eenheid wordt in diverse formules binnen de wiskunde gebruikt, maar bijvoorbeeld ook om binnen de electrotechniek bepaalde zaken uit te rekenen.

Dit zijn de zogenaamde complexe getallen. Deze getallen moet je uittekenen in het platte vlak. Je hebt de wortel van i uitgerekend, dit is het getal dat vermenigvuldigd weer i oplevert. Als je de uitkomst ziet , zie je een halfwortel twee op de x-as en een half wortel twee op de i as. Met pythagoras kun je dan de lengte van wortel i uitrekenen en deze is precies 1, net zoals i zelf. Als je (0.701 + 0.701 i )*(0.701 + 0.701i) weer zou uitrekenen krijg je 0.5 +2*0.5i+0.5i^2 = 0.50 + i - 0.50 = i
Ditzelfde geldt echter ook voor -0.70 - 0.70i en als je de uitkomsten in een rooster uittekent zie je aardige dingen vooral bij de derde machtwortel van i (drie oplossingen in een gelijkzijdige driehoek waaronder i zelf), etc.

Nu blijkt dit concept heel bruikbaar, om golfverschijnselen te beschrijven en allerlei wiskundige vergelijkingen op te lossen waar golfverschijnselen in voorkomen. In de elektronica is het rekenen met complexe getallen bijvoorbeeld een basisonderdeel, maar overal waar wiskundige modellen worden gebruikt duiken deze getallen op, zeker wanneer er golfverschijnselen worden gevonden of beschreven.

Ik zal de hierboven gegeven antwoorden niet herhalen, maar er wel iets aan toevoegen:
Bedenk je dat je eigenlijk geen wortel kan nemen van een negatief getal.
Dit zal je wel weten, maar voor de zekerheid: een wortel van een getal is een getal dat vermenigvuldigd met zichzelf het antwoord geeft dat gelijk is met het getal waar je de wortel van wilt nemen.

Zo is de wortel van 16 zowel 4 als -4. Want, 4x4 = 16 en -4 x -4 = 16.
Je kan niet een getal uitrekenen dat de wortel is van -16.

Wiskundigen hebben een rekentrucje bedacht om toch verder te kunnen rekenen als ze in sommige situaties een wortel moeten trekken van een negatief getal. Zoals hierboven al uitgelegd, ze hebben bedacht dat er een getal is dat vermenigvuldigd met zichzelf -1 is, ze noemen dit bedachte getal i. Dus als je de wortel van -16 moet trekken kan -16 anders opschrijven, namelijk als -1 x 16. Als je hier de wortel van trekt krijg je i x 4 of i x -4.

Overigens, als je in je wiskunde les bijvoorbeeld de abc-formule moet gebruiken en een wortel moet trekken van een negatief getal moet je gewoon opschrijven: 'Geen Antwoord". i gebruiken in de gewone school wiskunde is niet de bedoeling, tenzij het echt over imaginaire getallen gaat in het hoofdstuk.

We stellen ons b.v. de volgende opgave: √-4.
We ontbinden de opgaaf als: -4=4.(-l) en brengen dat weer terug onder het wortelteken. Wij krijgen : √4 . (-l) = 2.√-1 (sorry, ik krijg het verlengde wortelteken niet voor elkaar).
En daar hebben we het onmogelijke getal √-1.
Om het nu niet te moeilijk te gaan maken heeft de wiskundige Euler het onmogelijke getal de letter i gegeven. Het geval i spot met iedere menselijke voorstelling, maar i bestaat net zo goed als ieder andere wiskundige grootheid bestaat. Het punt is dat we aan het eind van onze wijsheid zijn beland. Aan Gaus danken wij een methode om ons alle imaginaire (denkbeeldige) en complexe getallen, zoals met i en daarmee verwante getallen noemt, een beeld te kunnen vormen.
Het getal 1 is zo wie zo een apart geval. Het is het enige getal dat met zichzelf een of meerdere male vermenigvuldigt als uitkomst 1 geeft. 1.1=1 en ook 1.1.1.1.1=1 Maar het wordt nog gekker: er zijn oneindig veel getallen, die met elkaar vermenigvuldigd, als uitkomst -1 geven. Twee kennen we allemaal, want 1.-1=-1. Maar er bestaan al drie verschillende getallen die drie maal met zich zelf vermenigvuldigt als uitkomst 1 geven. Ga er maar even voor zitten:
1³=1
[½.(-1+i√3)]³=1
[½.(-1-i√3)]³=1
De laatste twee zijn complexe getallen en behoren dus uit het ons bekende geestenrijk. Zo is het ook met de beantwoording van de vraag hoeveel getallen er bestaan die b.v. 1 miljoen maal met zichzelf vermenigvuldigt, 1 als uitkomst geven. Het verrassende antwoord is, dat zijn er 1 miljoen. Daarvan behoren de getallen 1 en -1 tot onze wereld en 999998 zijn complex. Een complexe wereld die tovertuin der wiskunde.
Het nut? Wel ze bestaan gewoon net als andere getallen. Dat wij ze niet kunnen begrijpen heeft daar verder niets mee te maken. En er wordt ook driftig mee gerekend, zoals in de elektrotechniek. Er zijn ook mensen onder ons die beweren dat je de wortel uit -1 wel kunt trekken, maar die moeten dat dan maar even uitleggen. Misschien de bok uit Siddeburen?
In Siddeburen was een bok,
Die machtsverhief en wortel trok.
Die bok heeft onlangs onverschrokken,
De wortel uit zich zelf getrokken.
Waarna hij zich zonder ongerief,
Weer in het kwadraat verhief.
Maar het feit waardoor hij voort blijft leven,
Is dat hij achteraf nog even.
De massa die hij huldigde,
Met vijf vermenigvuldigde.