Iemand enig idee hoe je de functie x*sin(x)^2 moet primitiveren?
4.5K
4.5K keer bekeken
Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.
Het beste antwoord
De afgeleide van cos(f(x)) = -sin(f(x))*f'(x)
oftewel -f'(x)*sin(f(x)).
Neem nu (om richting jouw formule te gaan):
f(x) = x^2, dan geldt f'(x) = 2x
dan geldt dus: de afgeleide van cos(x^2) = -2x*sin(x^2)
links en rechts delen door -2 (om helemaal richting jouw formule te komen) levert dan:
de afgeleide van -½cos(x^2) = x*sin(x^2)
de primitieve van x*sin(x^2) is dus -½cos(x^2) + a
waarbij a een constante is. De afgeleide van een constante is namelijk 0.
(Lees meer...)
oftewel -f'(x)*sin(f(x)).
Neem nu (om richting jouw formule te gaan):
f(x) = x^2, dan geldt f'(x) = 2x
dan geldt dus: de afgeleide van cos(x^2) = -2x*sin(x^2)
links en rechts delen door -2 (om helemaal richting jouw formule te komen) levert dan:
de afgeleide van -½cos(x^2) = x*sin(x^2)
de primitieve van x*sin(x^2) is dus -½cos(x^2) + a
waarbij a een constante is. De afgeleide van een constante is namelijk 0.
Verwijderde gebruiker
13 jaar geleden
Andere antwoorden (1)
Hierboven gaat het over sin(x²), maar bedoel je misschien (sin(x))²? Dat wordt ook wel sin²x genoteerd. Als dat het geval is, kan je best dat kwadraat eerst wegwerken.
Om het kwadraat bij de sinus kwijt te spelen kan je de verdubbelingsformules van de cosinus gebruiken.
Uit cos(2x) = 1-2.sin(x)² volgt sin(x)² = (1-cos(2x))/2; dus:
INT x.sin(x)² dx
= INT x.((1-cos(2x))/2) dx
= 1/2 INT x dx - 1/2 INT x.cos(2x) dx
Hierin heb ik de haakjes uitgewerkt en de integraal alvast in twee stukken gesplitst. De eerste is heel eenvoudig en voor de tweede kan je partiële integratie gebruiken.
Ken je dat, of heb je daar ook hulp bij nodig?
(Lees meer...)
Om het kwadraat bij de sinus kwijt te spelen kan je de verdubbelingsformules van de cosinus gebruiken.
Uit cos(2x) = 1-2.sin(x)² volgt sin(x)² = (1-cos(2x))/2; dus:
INT x.sin(x)² dx
= INT x.((1-cos(2x))/2) dx
= 1/2 INT x dx - 1/2 INT x.cos(2x) dx
Hierin heb ik de haakjes uitgewerkt en de integraal alvast in twee stukken gesplitst. De eerste is heel eenvoudig en voor de tweede kan je partiële integratie gebruiken.
Ken je dat, of heb je daar ook hulp bij nodig?
Verwijderde gebruiker
13 jaar geleden