Waarom snijdt de grafiek van sinus(x) de x-as in het punt π?

Question

Ik vraag me af waarom de grafiek van sinus de x-as in het punt π(pi) snijdt. π is namelijk de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de doorsnede ervan, terwijl de sinus van een hoek de verhouding is tussen de overstaande zijde van die hoek en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek. Twee heel verschillende dingen.

Met andere woorden: Waarom is sin(π)=0?

 · Accepted Answer

Zie afbeelding.

Stel nu dat de cirkel een wiel is dat met constante snelheid tegen de klok in draait. De straal van de cirkel is 1.

P is een punt op het wiel dat we volgen. Op elke plaats waar P is kunnen we de hoek meten tussen de lijn van P naar de oorsprong en het positief gedeelte van de X-as. Deze hoek noemen we theta.

Stel dat P op (het positief deel) van de X-as begint, dan begint theta bij 0 graden. Als het wiel één keer ronddraait dan loopt de hoek theta constant op van 0 graden naar 360 graden (2pi graden).

Van deze beweging gaan we het volgende in een nieuwe grafiek zetten:
Op de X-as zetten we de hoek theta uit. Op de Y-as zetten we de hoogte van het punt P t.o.v. de X-as.
Als theta gelijk is aan 0, dan ligt P op de X-as en is de hoogte dus ook 0. Onze grafiek begint dus bij (0,0).

Als theta gelijk is aan 90 graden (½pi), dan is P op zijn hoogst, oftewel 1. Bij 180 graden (pi) is de hoogte weer gelijk aan 0. Bij 270 graden (1½pi) is de hoogte -1 en na 360 graden (2pi) zijn we weer rond en is de hoogte weer 0. Indien je de grafiek voor alle hoeken tussen 0 en 360 graden hebt getekend dan heb je exact een grafiek van: jawel,... de sinus van theta.

Waarom? De sinus van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de overstaande zijde van de hoek gedeeld door de schuine zijde van de driehoek. We kunnen voor elke positie van P een driehoek teken door een lijn te trekken van P naar de oorsprong (schuine zijde driehoek) en door een lijn te trekken van P loodrecht op de X-as (overstaande zijde). Omdat de schuine zijde altijd de straal van de cirkel is, is deze schuine zijde altijd 1. Dus de sinus van theta is altijd gelijk aan de overstaande zijde (gedeeld door 1), oftewel de hoogte van P. Dus daarom is de grafiek die we gecreëerd hebben gelijk aan de sinus van theta.

Bovenstaand verhaal heeft je hopelijk een beeld gegeven wat het verband is tussen sinus en een cirkel en daarmee tussen sinus en pi.

Toegevoegd na 6 minuten:
NB: Een identiek verhaal geldt voor de cosinus van theta. Deze geeft dan steeds de projectie op de X-as van P weer. Sinus dus de projectie van P op de Y-as.

 · Answer

Een sinus is hetzelfde wanneer je een fietswiel neemt en bekijkt vanuit het ventiel uitgezet in een x as. De omtrek van n cirkel is 2pi x straal . De 1e keer als de sinus door het nulpunt gaat,oftwel de cirkel is pas half rond gedraaid, rest pi x straal. De sinus van 180(half rond) is 1. Uiteindelijk pi x 1 is 3,14. Snap je het nog?

Toegevoegd na 25 minuten:
Voor de duidelijkheid: als je een fietswiel een keer rond laat draaien en je begint met het ventiel op '9 uur' (sinus 0), dan is het wiel op 3 uur half rond. De straal van het wiel stellen we op 1, de omtrek van een cirkel is 2r maal pi, 2pi dus. Op 3 uur was het wiel halfrond enstaat het ventiel qua hoogte weer op 0. Dus wanneer de sinus de x-as voor de eerste keer kruist, is de afgelegde afstand de helft van de omtrek. Pi dus.

 · Answer

sinus betekent eigenlijk de waarde van de y-as van een (eenheids)cirkel.

teken maar een cirkel met straal 1 met als middelpunt (0,0).

de sinus begint op x=1 en y=0, en gaat tegen de klok in
dus na 2pi ben je weer terug op het beginpunt.

als je op het beginpunt bent, ben je op 0 dus is sin(0) ook 0 want y=0.

als je helemaal rond bent, ben je 2pi verder, maar ben je ook weer op y=0, dus sin(2pi)=0.

maar, als je half rond gaat, waar sta je dan op de y-as? juist, ook weer op 0! dus sin(pi)=0.

bonus:
en als je nu kwart rond gaat? dan ben je op afstand 1/2pi en dan sta je op coordinaat (0,1) en y is dan 1. dus sin(1/2pi)=1

 · Answer

Het komt zo precies uit vanwege de definitie van pi, zijnde de verhouding van de omtrek en de diameter van een cirkel en de definitie van een hoek van 1 radiaal, zijnde een hoek waarvan de straal gelijk is aan de omtrek. Daar volgt als snel uit dat er twee pi radialen in een volledige cirkel gaan.

Bij pi radialen hebben we een probleem volgens de definitie die je gaf voor een sinus omdat het onmogelijk is om een rechthoekige driehoek te vormen met een hoek groter dan pi/2. Daarom is de definitie van een sinus aangepast. Ik zal hier de definitie hanteren met een eenheidscirkel (straal =1). Bij alle hoeken is dan de sinus gedefinieerd als de y coordinaat van de doorsnijding van een lijn die een hoek alfa maakt met de eenheidscirkel. Het is eenvoudig te checken dat deze definitie overeenkomt met de definitie voor scherpe hoeken.

Omgekeerd kun je dus elk punt op de eenheidscirkel dus beschrijven met de coordinaten (cosinus(alfa), sinus(alfa)).  Op het punt (-1,0)  is de omtrek langs de cirkelboog precies pi en is alfa dus ook gelijk aan pi. Daaruit volgt dat cos(pi)= -1 en sin (pi)=0

 · Answer

Heb je een cirkel met een middellijn en een straal verticaal daarop bij middelpunt M. Duw, in gedachte, 2 knikkers, 1 op de verticale straal en 1 op de cirkelboog met een lat vanaf de middellijn omhoog tot de straal de cirkel snijdt. Als het goed is komen beide tegelijkertijd in dat punt aan. Duw beide knikkers weer naar beneden tot ze weer op de middellijn precies tegelijkertijd aankomen. De knikker op de boog heeft een halve cirkelomtrek gerold die op de straal 2 maal de afstand op de straal. De baan of afstand die de knikker op de boog doorloopt staat op de X-as. De baan van die op de straal staat op de sinus en geeft de sinuswaarden weer die op de Y-as staan opgeschreven. Denk nu maar verder na over je vraag.

Waarom snijdt de grafiek van sinus(x) de x-as in het punt π?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (4)

Weet jij het beter..?