Zijn er kleuren die het menselijke blote oog niet kan zien, maar wel bestaat?

Ja, dingen als infrarood en ultravioletstraling kunnen wij niet zien. Sommige dieren wel, en met apparatuur kunnen wij het detecteren.

Uit de definitie van licht kunnen we vaststellen dat het zichtbare (elektromagnetische-)straling is.
Het spectrum van licht zoals mensen kunnen waarnemen is niet gelijk aan wat sommige dieren kunnen zien, voor hen geldt een dus ander spectrum.
Zo kunnen bijen bijvoorbeeld ook UV waarnemen en hebben slangen de mogelijkheid om infrarood te "zien"
De benamingen infrarood en ultraviolet geven al aan dat ze buiten het voor ons zichtbare lichtspectrum vallen.
Een eenvoudig hulpmiddel om toch infrarood te kunnen waarnemen is een digitale camera: je kunt met een IR-afstandsbediening gericht op zo'n camera het knipperende IR-LEDje als een blauw stipje op het schermpje zien, terwijl je bij rechtstreeks kijken niets ziet.
Voor professionele doeleinden zijn speciale IR camera's beschikbaar.
De breedte van het spectrum wordt dus bepaald door wat de ogen van de waarnemer (mens of dier) kunnen zien.
Radiostraling of röntgenstraling vallen sowieso ruim buiten het lichtspectrum.

Er zijn instrumenten voor alle denkbare kleuren (golflengtes). NASA maakt van dat soort opnames weer zogenaamde false color plaatjes door een meetresultaat naar een kleur te vertalen. Voorbeelden kosmische achtergrondstraling, rontgenopnames van de zon.

Binnen het zichtbare licht zijn ook nog oneindig veel kleuren te zien. Dat zijn de mengkleuren, die je op een tv scherm kunt namaken door drie zuivere kleuren te mengen. Dieren als vogels en inktvissen trappen daar niet in omdat ze vier pigmenten hebben, die zouden tv's met vier kleuren per pixel moeten hebben.

Natuurlijk zijn er wel meer golflengtes van licht die we niet kunnen zien, maar toch geef ik nog even een andere kijk op de vraag:

De definitie van een kleur is een naam die gegeven is aan een bepaalde golflengte van zichtbaar licht. Oftewel, kleur IS zichtbaar licht, en als het niet zichtbaar is, kan het dus ook nooit een kleur zijn.

Daarom kan het antwoord ook "nee" zijn. Maar natuurlijk zijn bovenstaande antwoorden nuttiger (en had ik zelf ook gegeven als ik niet perongeluk als ik bijna klaar was met mijn verhaal mijn tabblad had weggeklikt :P)