Wat is het verschil (en overeenkomst) tussen impuls en energie van een bewegend deeltje?

Zoals je zelf al aangeeft is impuls evenredig met de snelheid, en energie evenredig met het kwadraat van de snelheid. Het zijn dus verschillende grootheden met een verschillende maateenheid.
Daarnaast is belangrijk dat energie een scalaire grootheid is (uit te drukken door alleen een getal) en impuls een vectorgrootheid (uit te drukken door een getal en een richting).
Stel dat ik een tennisbal een klap heb gegeven en daardoor vliegt hij nu met een snelheid van 30 km/u door de lucht. Kan ik hem nu met nog net zo'n klap versnellen tot 60 km/u? Nee, want hij vliegt al door de lucht en ik moet er dus achteraan rennen en een veel hardere klap (om precies te zijn: drie keer zo hard) geven. De bal heeft als hij 60 km/u gaat een 4x zo grote kinetische energie als toen hij 30 km/u ging. Hij heeft echter een tweemaal zo grote impuls.
Nu laat ik de bal, die 60 km/u gaat, botsen met een tweemaal zo zware bal. Voor zowel energie als impuls gelden behoudswetten. In geval van een botsing betekent dat dat de som voor en na de botsing gelijk moet zijn. Echter voor de energie moeten we getallen optellen en voor de impuls vectoren.
Je zou misschien denken dat de oorspronkelijke tennisbal stil komt te liggen en de zwaardere bal met 30 km/u gaat bewegen. Dat is echter niet het geval. Weliswaar zou de impuls dan behouden zijn, maar de energievergelijking klopt dan niet meer. We moeten aannemen dat de oorspronkelijke bal in de omgekeerde richting wordt weggestuiterd (ik veronderstel even een elastische botsing, dus zonder dat bewegingsenergie in warmte wordt omgezet) en wel met een snelheid van 20 km/u. De zware bal zal met 40 km/u in de oorspronkelijke richting vertrekken. Nu kloppen zowel de impuls- als de energievergelijking:
p = mv = 60m = -20m + 40*2m = -mv1 + 2mv2 (waarbij het minteken staat voor de tegengestelde richting) en E(kin) = ½mv² = 1800m = 200m + 800*2m = ½mv1² + ½*2m*v2².