Wat is het verschil tussen de formules van V(gemiddelde) en V?

De gemiddelde snelheid bepaal je door de totaal afgelegde afstand x te delen door de tijd t die je daarover deed. Wat er in de tussentijd gebeurt qua snelheid maakt daarbij niet uit. Denk maar aan de trajectcontrole bij wegmisbruikers. Daar doen ze hetzelfde.

De tijd weten we in het bovenstaande plaatje, namelijk 5 seconden. Nou die afstand nog die je ook vroeg.

De versimpelde uitleg (voordat de experts over mij heenvallen) doe je met de bekende formule voor afstand: x = v * t. Je ziet in deze formule dat de afstand gelijk is aan het product van snelheid (verticale as in jouw plaatje) en de tijd (horizontale as in jouw plaatje). Blijkbaar moet je iets op de horizontale as en verticale as met elkaar vermenigvuldigen. Dit lijkt verdacht veel op het berekenen van een oppervlakte. Het zal je daarom misschien niet verbazen dat de afgelegde afstand in jouw som gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek van de snelheid.

Oppervlakte onderste stukje is: 10 m/s * 5 s = 50 meter.
Oppervlakte driehoek was 1/2 * breedte * hoogte = 0,5 * 5 s * 40 m/s = 100 meter.

De totaal afgelegde afstand is dus 150 meter.

Nu weten we de totaal afgelegde afstand (150 meter) en de tijd die dat duurde (5 seconden). De gemiddelde snelheid wordt dus 150 / 5 = 30 meter per seconde.



Op de 'nette' manier de afgelegde afstand bepalen kan ook maar dan wordt het wat ingewikkelder. Het voordeel is echter dat dit ook werkt voor snelheidsgrafiekjes die niet zo'n mooi recht lijntje vormen. In zo'n geval wordt het 'handmatig' berekenen van de oppervlakte namelijk wat moeilijer. Je mag hier trouwens stoppen met lezen als je het allemaal wel gelooft.

De snelheid is de (eerste) tijdsafgeleide van de afstand. Om de afstand te berekenen uit een snelheidsfunctie moet je het omgekeerde doen, dus integreren naar de tijd t.

De snelheidsfunctie f(t) in bovenstaand voorbeeld is een rechte lijn dus van het formaat f(t) = a*t + b. In dit geval kom ik uit op: f(t) = -8t +50. Dit kan je zelf uit de grafiek bepalen. Controleer het aan de hand van bijvoorbeeld de waarden t=0 of t=5.

Als je van ft) de primitieve bepaalt kom je op F(t) = [-4t^2 + 50t].

Als je tenslotte het interval [0,5] gebruikt kom je op F(5) - F(0) = (-4*25 + 50*5) - 0 = -100 + 250 = 150 meter.