Wat is de oplossing van de tweelingparadox in de *algemene* relativiteitstheorie?

Klopt. Een zwaartekrachtsveld is immers ononderscheidbaar van een versnelling. Dat is de reden waarom hier op aarde de tijd langzamer verloopt dan ver weg in de ruimte. Trouwens, ook met een raket kun je zodanig versnellen dat de ruimtevaarder er niets van merkt. Je kunt een mens bij wijze van spreken met tienduizend G versnellen, op voorwaarde dat je alle atomen van zijn lichaam exact tegelijk versnelt.

Meer toelichting graag, want dit strookt niet met ART zoals ik 'm ken. @Reddie:
"Dat Bob de versnelling niet merkt wil niet zeggen dat hij er niet is" lijkt me te kort door de bocht: ten opzichte waarvan zou Bob de versnelling moeten merken? De algemene relativiteitstheorie zegt nou juist dat een coordinatensysteem in vrije val in een zwaartekrachtsveld identiek is aan een stelsel ergens ver weg in de lege ruimte. Er is geen enkele manier om het onderscheid te maken (op die getijdekrachten na dan, over een voldoende groot volume). Als je zwaartekracht voelt, of als je je in een versnellende raket bevindt, dan wordt je naar beneden gedrukt; zo niet, dan is er geen versnelling. @Cryofiel:
"Een zwaartekrachtsveld is immers ononderscheidbaar van een versnelling" is precies waar mijn probleem ligt. Immers, Bob ondervindt zelf geen zwaartekrachtsveld of versnelling omdat ie in vrije val blijft. (De raketmotor in mijn voorbeeld blijft uit, dit in tegenstelling tot het SRT voorbeeld waar hij moet omkeren.)

Ander voorbeeldje: In een zwaartekrachtsveld of in een versnelling ondervindt licht blauwverschuiving als het van "boven" naar "beneden" beweegt. In het vrij vallende stelsel van zowel Alice als Bob meten beide personen geen enkele verschuiving. Kortom, Alice en Bob ervaren beiden een zwaartekracht- en versnellings-vrije omgeving. Vandaar de ogenschijnlijk symmetrische situatie.
(Nou ja, op die getijdekrachten na dan weer dus...)

@LG, daarom mijn voorbeeld van de versnelling, gewoon via de raketmotor, zonder dat je er iets van merkt. WAAROM merkt Bob een versnelling wanneer hij zijn snelheid verandert middels de raketmotor? Dat is doordat de raketmotor tegen de raket duwt, de raket tegen de stoel waarin Bob zit, de rugleuning van de stoel tegen Bobs rug, Bobs rug tegen zijn ribben, enzovoort. Bob wordt van buitenaf versneld, en dat voelt hij. Tot een versnelling van ruwweg 6G is dat best uit te houden, daarboven wordt het een probleem. Neem nu een ander type raket. De raket versnelt, laten we zeggen dat hij "gewoon optrekt". Maar Bob zit niet in zijn stoel. Bob hangt ergens los in de raket, hij zweeft. Aan de voorkant van de raket is een serie "tractor beams" gemonteerd. Elk atoom van Bobs lichaam wordt door die tractor beams individueel meeversneld, zodat elk atoom van Bob (en dus Bob zelf) op dezelfde positie blijft ten opzichte van de raket. Nu kan de raket ineens met veel meer dan 6G versnellen. Bob versnelt gewoon mee, desnoods met 6000G, en hij merkt daar hoegenaamd niets van. Voor zijn gevoel is hij gewichtsloos, ook tijdens de versnelling van 6000G.

@Cryofiel
Je noemt in jouw voorbeeld een versnelling gewoon via de raketmotor. Mijn voorbeeld gaat echter over een raket die zijn motor *niet* aan heeft. Dus alleen maar vrije val. Misschien dat je punt is dat die tractorbeam uitwisselbaar zou zijn met zwaartekracht, maar ART gaat over zwaartekracht, niet over tractorbeams. ART zegt dat een vallend stelsel in een zwaartekrachtsveld gelijk is aan een stilstaand stelsel in de lege ruimte. ART zegt dat zwaartekracht in een vrij vallend stelsel helemaal niet bestaat, oftewel nul is (behalve getijdekrachten). ART zegt helemaal niks over tractorbeams. Een tractorbeam trekt misschien wel dingen aan zoals de zwaartekracht dat ook zou kunnen, ogenschijnlijk, maar daarmee kromt de ruimte-tijd niet zoals zwaartekracht dat in ART doet. Bijvoorbeeld: coulombkrachten gaan met 1/r^2 net als gravitatie. Dus voor een elektron lijkt het EM veld van een proton kwalitatief wel wat op dat van zwaartekracht: het proton werkt ook als een tractorbeam. Maar een klok in een ladingsveld gaat niet langzamer lopen, terwijl die in een zwaartekrachtsveld dat wel doet. Zwaartekracht in ART is niet zomaar een kracht (sterker nog, het is een schijnkracht).

Kortom, dat er allerlei leuke dingen gebeuren met exotische raketmotoren, dat zal best, maar dat geeft mij geen inzicht in het gedachtenexperiment wat ik in mijn vraag opvoer. Samengevat:
- Zowel Alice als Bob ervaren zelf geen zwaartekracht of versnelling.
- ART zegt dat hun coordinatenstelsels dan wat alle natuurwetten betreft volkomen gelijk zijn; er is geen manier voor Bob om te bepalen of ie valt in een veld of stilstaat in de lege ruimte.
- Alice ziet Bob wegreizen en terugkeren, net als Bob Alice ziet wegreizen en terugkeren; elk denkt zelf stil te staan, en ziet de ander bewegen, waarbij diens klokje langzamer loopt.
- Als alles, zoals hierboven beschreven, symmetrisch is, waarom is dan Bob toch de jongere van de twee als ie terugkeert?
De paradox blijft.

@viridiflavus:
Als de raket in vrij val is, is het licht dat ook, en wijkt het niet af voor de waarnemer in de raket zelf.
Het ziet er anders uit voor iemand ver buiten de raket (zoals Alice), maar degene in de raket kan op geen enkele manier achterhalen of ie gewichtsloos valt in een veld of gewichtsloos zweeft in de ruimte. Dat is precies het relativiteitsprincipe in ART.

Bob hoeft de versnelling helemaal niet te voelen. De versnelling is ten opzichte van Alice. Die zou kunnen zien dat Bob een rondje langs de sterren maakt. En dat rondje wordt gemaakt anders kan Bob niet bij Alice uitkomen. Bij de tweelingparadox gaat het er om dat de ene partij ten opzicht van de andere een versnelling ondergaat. Alice doet dat niet want die gaat in een rechte lijn met constante snelheid en kan dus als in rust worden beschouwd. Hoewel.... Als Alice op aarde staat draait ze rond de zon (die ook weer snelheid heeft) wat betekent dat Bob als ze aan de ene kant van de zon is meer versneld tov Alice dan dat ze aan de andere kant is. Dat verschil kun je echter buiten beschouwing laten omdat het minimaal is.

@Mullog:
"Bij de tweelingparadox gaat het er om dat de ene partij ten opzicht van de andere een versnelling ondergaat. Alice doet dat niet want die gaat in een rechte lijn met constante snelheid en kan dus als in rust worden beschouwd."
Bob wordt ook niet versneld, althans niet binnen ART. Ook Bob gaat eenparig, of beter gezegd volgt een geodeet.
http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic @Viridiflavus:
"Nee, de afbuiging in een versnellend object vind je altijd" / " In een versnellende raket vind je wel buiging"
Laat ik heel precies zijn in wat ik stel: in een afgesloten raket (of lift), vrij vallend in een baan om een ster (zoals een komeet), kan Bob zelf niet vaststellen dat hij "versnelt in een zwaartekrachtsveld"; hij kan dat althans niet onderscheiden van een situatie waarin hij vrij "zweeft in de lege ruimte". Het licht in de raket gedraagt zich voor Bob heel normaal: het gaat gewoon rechtdoor t.o.v. de raket, buigt niet af, verandert niet van golflengte, etc. Tot zover snap ik ART wel.
Kortom, als Alice en Bob beiden de reis maken in een afgesloten ruimte ervaren ze beiden onderweg precies hetzelfde, aangezien ze allebei in vrije val zijn. (Nou ja, op getijdekrachten na dus weer; en blijkbaar zijn ze niet even oud als ze elkaar weer ontmoeten, maar daar gaat de vraag over.)
http://www.einstein-online.info/spotlights/equivalence_light
Dat Bob's baan gekromd lijkt te zijn en Bob dus versneld lijkt te worden zie je alleen als waarnemer van buiten, en in dat geval is niet de baan krom maar de ruimtetijd.

@Landsgevaer Om terug te keren zal Bob van richting moeten verandere. Alice zal dat niet doen. Veranderen van richting betekent dat er een kracht op je werkt en als er een kracht op je werkt onderga je versnelling. Licht volgt een geodeet maar fotonen hebben geen massa. Een raket heeft van zichzelf massa en zal dus ook invloed op de ster hebben en daarmee volgens mij ook geen zuivere geodeet beschrijven.

Jawel mullog. Alle lichamen waarop geen krachten werken dan zwaartekracht (dus geen electromagnetisme e.d.) volgen in ART een geodeet. In ART is zwaartekracht geen echte kracht, maar een artefact van een versnellend coordinatenstelsel. Een vrij vallende raket beschrijft een zo rechte baan in een gekromde ruimte. Dit is dus in ART juist géén versnellend coordinatenstelsel, maar een inertiaalstelsel (wij hier op het oppervlak van de Aarde zitten volgens ART juist in een versnellend stelsel). Alle antwoorders lijken diezelfde vergissing te maken. Ik weet heel zeker dat ART een vrije val als inertiaalstelsel ziet waarin alle fysische wetten volkomen identiek zijn aan die van Alice ver weg in de lege ruimte. De antwoorden die betogen dat er toch een versnelling is gaan voorbij aan het equivalentieprincipe van ART.
Wat de paradox betreft ben ik nog niks opgeschoten.

@Landsgevaer mijn vorige opmerking is onzin, dus vergeet die a.u.b. Maar volgens mij is het van twee dingen een. Bob verandert van richting. Of dat nu gerealiseerd wordt door een raket te versnellen en te vertragen en van richting te veranderen door een raketmotor of door hem langs een zware massa te sturen via een geodeet doet m.i. niet ter zake. In het eerste geval is duidelijk wat er met een klok gebeurt. In het tweede geval is dat misschien wat moeilijker te zien maar gebeurt volgens mij het volgende. De raket met Bob erin beweegt zich via een geodeet langs de massa. Voor de raket en Bob lijkt het of hij zich langs een rechte lijn beweegt. Maar de "rechte" lijn beweegt zich wel door een veranderend zwaartekracht veld. Hierbij gaat tijddilatatie dan een rol spelen en een klok gaat zich dan hetzelfde gedragen als zou de raket zelf de bocht maken. het maakt dus m.i. niet uit of je de raket zelf de draai laat maken, dit via een pad langs meerdere sterren doet of desnoods een U-bocht langs een zwart gat maakt. Het totaal leidt uiteindelijk tot het leeftijdsverschil. En voor zowel Bob als Alice gebeurt er niks vreemds omdat die binnen hun eigen inertiaalstelsel blijven.

Merci voor die toelichting! Als ik dit samenvat in mijn eigen woorden komt het er uiteindelijk op neer dat Alice en Bob in hun coordinatenstelsels lokaal gezien wel ononderscheidbare symmetrische waarnemingen doen (allebei zwaartekrachtsvrije val in een inertiaalstelsel), maar dat dat niets zegt over de globale structuur van ruimtetijd.
Een beetje zoals je een reep papier kan dichtlijmen tot een cilinder of tot een mobiusband: een mier die rondwandelt merkt geen verschil in lokale metriek, of ie op een cilinder of moebius zit, maar toch is globale geometrie anders. De eindpunten "sluiten anders aan elkaar aan". (Niet dat ART ruimtetijd letterlijk tot mobiusbanden maakt natuurlijk, maar het is wel gekromd.) In SRT zou je dat probleem dan niet hebben omdat je geen kromming in de ruimte hebt, dus de ruimte is vlak en komt nooit ergens bij elkaar om gelijmd te kunnen worden. Of iets dergelijks. Dat is het dichtst bij een antwoord dat ik tot nu toe kom.

Ik weet niet zeker of het precies zo is als je zegt omdat ik niet helemaal begrijp wat je bedoelt. Voor Alice geldt zeker dat zij geen verandering gaat constateren. Maar als Bob een ster passeert volgens een geodeet dan zal hij zeker constateren dat hij van richting is verandert ook al heeft hij dat niet gevoeld. Stel hij maakt een foto van de sterrenhemel voor hem (in de richting recht vooruit) voordat de passage plaatsvindt (bijvoorbeeld als hij op een afstand van de betreffende ster is vergelijkbaar met de afstand tussen de zon en Saturnus om eens een voorbeeld te noemen) en hij maakt daarna een foto van de sterrenhemel voor zich (in de richting recht vooruit) nadat hij gepasseerd is dan zal hij constateren dat zijn capsule een andere richting op gaat dan voor de passage simpelweg aan de verschuiving van de sterren op de foto (naar links of naar rechts afhankelijk van de kant waar hij de ster gepasseerd heeft).

Ja, maar hoe weet Bob dan dat niet een of andere rare zwaartekrachtslens voor dat effect heeft gezorgd, want die verschuiven sterren aan de hemel ook ogenschijnlijk? Of zelfs dat de sterren niet werkelijk in een bolhoop om elkaar heen draaien en daardoor lijken te cirkelen? Daarnaast vangt Bob alleen licht op; over het fysieke bestaan van de sterren kan ie formeel slechts gissen.
Nou ja, wordt een beetje zweverig zo. Maar het punt is: je meet draaiing principieel niet aan de hand van andere sterren (want er zijn geen "absolute referentiepunten" in ART). De beste manier om draaiing te meten is met een ideale gyroscoop. Een draaiend coordinatenstelsel is namelijk niet equivalent aan een niet-draaiend stelsel (denk aan Corioliskrachten en dergelijke). Maar het gevolg daarvan is dat als die schijnkrachten er niet blijken te zijn (en Bob ervaart wel getijdekrachten maar geen Corioliskrachten!), dat Bob dan principieel zou moeten concluderen dat ie niet in een draaiend coordinatenstelsel zit. Maar goed, blijft hetzelfde. Die sterrenhemel zegt iets over de ruimte ver weg, op grote schaal. Dat is iets globaals. Niet iets lokaals. Bob en Alice zijn qua *lokale* fysica in hun lab volkomen symmetrisch, maar blijkbaar vertaalt dat in ART niet naar symmetrisch *globaal* omdat ruimtetijd "scheef kan zijn aaneengeplakt" of iets dergelijks. Nou ja, de vinger heb ik nog steeds niet precies op die paradox gelegd.

Ik heb dit paper gevonden:
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0101014v1.pdf
Volgens mij is dit gerelateerd. Maar snappen doe ik het niet helemaal.

Het is inderdaad gerelateerd, met als enige verschil dat de reizende tweeling in dat document zich in een periodieke baan rond een zware massa bevindt. Maar dat verandert niets aan het vraagstuk. Al die vergelijkingen had ik vroeger kunnen begrijpen, maar ik ben er al te lang uit. Daarom lees ik vanaf pagina 3 van de PDF, na de laatste vergelijking (ongeveer halverwege de linker kolom op pagina 3). Uit die tekst lees ik dat de reizende tweeling wel degelijk kan ontdekken dat zij de reizende partner is: "H will know that any measurements made inside [her reference] frame are ambiguous by the time shift". Wanneer de tweelingen elkaar ontmoeten, zal de reizende tweeling jonger zijn dan degene die op haar plek is gebleven. Beide zullen het daar over eens zijn.

Ik begrijp wel hoe het er voor een verre waarnemer uitziet, maar wat verklaart de paradox? Immers: Bob ziet Alice heel hard wegvliegen, ondervindt zelf op geen enkel moment een versnelling, en ziet een poos later Alice weer terugkeren. Dat is hetzelfde als wat Alice kan zeggen. Wat is het in Bobs coordinatenstelsel dat de schijnbare symmetrie verbreekt.