Mag de rotatie van een wiel, die onafhankelijk van een lineaire beweging, worden voorgesteld door een speudovector in de vierde dimensie?

Question

Alle materie bestaat uit protonen, neutronen en elektronen. Protonen en neutronen bestaan weer uit quarks en anti-quarks die samen met gluonen met de lichtsnelheid bewegen. Zelfs elektronen kunnen worden voorgesteld door een lading die als een roterende elektromagnetische golf in de vorm van een Möbius lint zich met de lichtsnelheid voortbeweegt, zie http://www.ccaesar.com/eng_structure_of_the_electron.html.

De vergelijking uit de speciale relativiteitstheorie t'= t.sqrt( 1 - (v/c)^2) kan ook worden geschreven als t= sqrt( t' + (s/c)^2). Deze vergelijking kan als volgt worden gelezen; Een waarnemer zal een tijdsverschil van t seconden waarnemen als een klok in t' seconden een afstand s overbrugt in het inertiaalstelsel van de waarnemer.

Aan de hand van een wiel dat roteert en tegelijk in willekeurige richting een lineaire afstand aflegt wil ik dit duidelijk te maken. Ik neem in dit geval aan dat alle massa van het wiel geconcentreerd is in de velg (in een cirkel). Omdat de rotatie onafhankelijk is van de lineaire beweging geldt dat m(vt)^2= m(vr)^2 + m(vl)^2.
m is de totale massa, vt is de resulterende gemiddelde snelheid van elk deeltje van de velg, vr is de snelheid van elk deeltje van de velg t.g.v. de rotatie en vl is de lineaire snelheid.
Mag hieruit worden geconcludeerd dat vt een pseudovector (vt is onafhankelijk van de richting) voorstelt die haaks staat op onze ruimtedimensies? Of is dit flauwekul?

Toegevoegd na 1 dag:
m(vt)^2= m(vr)^2 + m(vl)^2 =>
½m(vt)^2= ½m(vr)^2 + ½m(vl)^2

 · Accepted Answer

Dat is geen flauwekul wat je zegt. Alleen kijken we er in de mechanica iets anders tegenaan. 
Voor een lineaire beweging geldt dat de bewegingsenergie van een deeltje met massa m en snelheid v is (1/2) mv^2. Waarbij we de snelheidsvector aangeven met een pijl in de bewegingsrichting (allicht), die dus driedimensionaal is (vx, vy, vz). 
Bij een roterende massa kennen we er een rotatievector (omega) aan toe, met een lengte uiteraard evenredig met de rotatiesnelheid, maar de richting van de rotatievector nemen we de richting waarin een kurketrekker beweegt als je hem in de rotatierichting draait. Voor een vóóruitrijdend fietswiel geldt dan dat de rotatievector naar links wijst. Ook de hoekverdraaiingsvector (phi) staat in die richting, evenals de hoekversnelling (alpha). 
Bij rotatie vervangen we de massa door het massatraagheidsmoment I (inertia) of J. 
In het wiel dat je beschrijft, met de massa in de velg, is J = mr^2, met r de straal van de velg. In plaats van de snelheid in meters per seconde nemen we nu de hoeksnelheid omega (ik schrijf hier w, want de omega is lastig) in radialen per seconde. De energie ordt dan, analoog aan het lineaire geval, (1/2)Jw^2. 
Aangezien J = mr^2 is dit ook gelijk aan (1/2)mr^2w^2 = (1/2)(rw)^2, en met v=rw blijkt dit gelijk te zijn aan jouw (1/2)mv^2. 
De snelheidsvector en de rotatiesnelheiddvector zijn beide overigens driedimensionaal. Wil je ze samen nemen dan heb je een zesdimensionale ruimt nodig . 
Dit is een eerste beschouwing in de rotatiemechanica. Ga je daarin verder dan verklaar je hiermee ook simpel de stabiliteit van een (motor)fiets, van een gyroscoop, en de werking van de boomerang.

 · Answer

Ik laat dat zogenaamde elektronmodel even terzijde liggen en beperk me tot je laatste paragraaf waarin het gaat over een velg van een wiel. Ik lees dat als een oneindig dunne cirkelvormige lus met homogene lineaire massadichtheid. Dat is tenminste een redelijk goed gedefinieerd probleem.
Je schrijft dat de totale bewegingsenergie van alle massa tezamen gelijk is aan de som van de voortbewegingsenergie van het massamiddelpunt, 1/2*m*v^2, plus de rotatieenergie van het draaiende wiel, 1/2*m*omega^2*R^2 (waarbij je de factor 1/2 hebt weggelaten, en ik even omega gebruik voor de hoeksnelheid en R voor de straal van het wiel i.p.v. jouw vr; maar het is verder dezelfde formule). Dat is in elk geval juist.
Vervolgens zeg je dat vt onafhankelijk is van de richting. Ik snap niet helemaal hoe je dit bedoelt, maar de totale kinetische energie verandert in elk geval niet met de hoek van het draaiende wiel o.i.d. Echter, vt als zodanig bestaat niet als een vector voor zover ik het zie.
Wat je eigenlijk zou moeten doen is de totale energie berekenen van alle deeltjes in het wiel. Je krijgt dan een integraal:
 E_kin = INTEGRAAL 1/2 * rho * v^2 * R * d alpha
rho is de massadichtheid per lengteeenheid langs de velg, en v de snelheid van een infinitesimaal deeltje van de velg gecombineerd over de rotatie en de translatie (v is afhankelijk van alpha). Je kan wel zeggen dat die totale energie "overeenkomt" met een effectieve snelheid vt, maar die vt is slechts de grootte van een snelheid, heeft geen richting. Daarmee is het geen pseudovector.
Pseudovectoren kun je wel gebruiken om draaisnelheden samen te vatten (de "kurketrekkerregel"), maar dan is het resultaat gewoon een vector *in* onze drie ruimtedimensies, loodrecht op het vlak van de draaiing. Hij staat *niet loodrecht op* de ruimtedimensies. Voor een combinatie van een draaiing en een translatie is er ook op elk moment een instantane as te geven waaromheen je de hele beweging als een pure draaiing kan zien (zonder translatie). In die zin is de aanwezigheid van de translatie niks bijzonders.
Overigens is dit allemaal in de klassieke limiet (Newtoniaans), hetgeen in het kader van het beschrijven van elektronen niet zo zinnig lijkt.
Je redenering was mij niet helemaal duidelijk, maar hopelijk kan je hier wat mee.

Mag de rotatie van een wiel, die onafhankelijk van een lineaire beweging, worden voorgesteld door een speudovector in de vierde dimensie?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (1)

Weet jij het beter..?