Hoe bereken je de afgelegde weg en de verplaatsing van een plaat op de grammofoonplaat.

De plaat blijft stil liggen, dus 0. Als je de naald bedoelt die legt nog geen 10 cm af (van de buitenrand tot bij het midden van de plaat).

En afgelegde weg denk ik dat er 3.5*30*pi = 105pi centimeter. Hoewel dit niet zeker te zeggen is, omdat de vraag onduidelijk is.

De omtrek is 30pi, dus de verplaatsing zal wel 15pi cm zijn (er is immers 105pi cm afgelegd, dus eindigt de naald weer op 15pi cm).

Het is echter een beetje goochelen met wat er bedoeld wordt.

Toegevoegd na 1 minuut:
Ik ben er ook maar van uit gegaan dat de naald de hele tijd aan de zijkant blijft, omdat je niks hebt gezegd over de dikte van de groeven.

Zoals je weet verplaatst de naald zich van buiten naar binnen. Dat betekent dat de omtreksnelheid aan de buitenkant van de plaat veel groter is dan aan de binnenkant. De omtrek aan de buitenkant van de plaat is pi x D = 3,14 x 30 cm = 94,2 cm.
De omtreksnelheid is dan 94,2 x 45 t/min = 4239 cm/min.

Stel dat de binnen groef van de plaat een diameter heeft van 10 cm, dan is de omtreksnelheid daar
3,14 x 10 cm x 45 t/min = 1413 cm/min.
De gemiddelde snelheid van de naald is dan
(4239 + 1413) : 2 = 2826 cm/min.

Na 3,5 omwenteling is de de afgelegde weg van de naald 3,5 x 94,2 cm = 329,7 cm, er van uitgaand dat de eerste drie omwentelingen ongeveer de zelfde omtrek hebben, wat theoretisch niet zo is.

Want let wel; bij iedere omwenteling komt de naald dichter bij het middelpunt van de plaat en dus zal iedere omwenteling van de plaat een kleiner omtrek hebben en zal de afgelegde weg van de naald navenant kleiner zijn.

De totale afgelegde weg van de naald kun je niet berekenen daar het aantal groeven per plaat verschillend is. Op de ene plaat staat meer muziek dan op de andere. Meer muziek betekent meer groeven en dus een langere afgelegde weg.

Wel kunnen we een schatting maken.
Stel dat de speelduur van de plaat 20 min is en de gemiddelde snelheid van de naald is 2826 cm//min (zie boven), dan is de totaal afgelegde weg
20 x 2826 = 56.520 cm = 565,2 m

Om de lengte van de groef te bekijken is het het handigst om naar de oppervlakte te beschouwen die de naald doorloopt. Dat gaat goed op bij archimedespiralen op enige afstand van het centrum. Vlak bij het centrum moet je van lijnintegralen gebruik maken.

Als je de gemiddelde snelheid schat met de snelheid midden tussen de binnenste en buitenste groef, dan maak je een onderschatting van de snelheid doordat er meer groefoppervlak buiten dat midden ligt dan binnen dat midden.

Een typische LP heeft een speelduur van 20 minuten per kant. De buitenkant bevindt zich op 15 cm van het centrum en de binnenkant op 6 cm. Ik gebruik voor het gemak de 33 1/3 toeren per minuut voor een normale LP om de groefbreedte te kunnen bepalen, (45 toeren platen van dat formaat waren zogenaamde 12 inches met bredere groeven en afwijkende speelduur.

Speelduur is 20 minuten en 33 1/3 toeren per minuut geeft een aantal omwentelingen van 667. Het oppervlak van de plaat bedraagt pi * (15^2 - 6^2 ) = 3.14 * 189= 593.5 cm^2. De lengte van de groef is dus het oppervlak gedeeld door de groefbreedte (9/667 cm= 0.0134 cm ) = 593.5 *643/9 cm =42 400 cm. De gemiddelde snelheid over de plaat is dan 42 400/(20*60)=35.3 cm/s. Bij 45 toeren is dat dus 47.7 cm/s.

Bij de eerste 3.5 omwentelingen kun je vanwege de zeer kleine groefbreedte de afstand nog verwaarlozen. Elke omwenteling neemt de afgelegde weg af met ongeveer
pi*0.0134 cm (halve groefbreedte * 2 *pi). De afstand is dus pi *30 cm *3.5 - pi*0.0134 *3.5 = 329.7 - 0.14cm = 329.56 cm.(3.14 voor pi)

Toegevoegd na 1 dag:
De verplaatsing na 3.5 omwentelingen bedraagt 30 cm - drie groefbreedtes. De verplaatsing is de afstand tussen oorspronkelijke positie en de positie na 3.5 omwentelingen.