Hoe groot moet een planeet zijn wil er een laserstraal een rondje omheen draaien?

Er zit een fout in de berekening en een kleine redeneringsfout.
De ontsnappings snelheid van de zon is 616 km/s (heb ik niet nagekeken overigens). Licht reist met 300.000 km/s dus zou iets wat 500 keer zo zwaar is (hoeft niet 500x zo groot te zijn), geen 50x.

Even wat feiten over zon versus aarde:
gewicht zon: 1,989x1030 kg
gewicht aarde: 5,9722×1024 kg
factor 1 miljoen (afgerond)

ontsnappingssnelheid zon: 619.3 (als we het dan toch precies doen)
ontsnappingssnelheid aarde: 11.2
factor: 58 (even uit het hoofd)

Om een ontsnappingssnelheid van 300.000 km/s te bereiken is een hele grote massa nodig. Als we dit doortrekken (er van uitgaande dat de dichtheid hetzelfde is en blijft) komen we volgens mij als volgt uit:
factor 58x keer groter dan de aarde, is 1 miljoen keer zwaarder.
9 maal groter is 1 miljoen^9 = 10^54 keer zo zwaar.

Hoeveel groter is dat dan? Dan weet ik dan weer niet precies, maar laten we het gemakkelijk houden op 3 dimensies, 10^18 keer zo groot als de zon.

Dit zijn gigantische groottes. Maar in die orde van grootte moet je wel denken. Er zijn superclusters van melkwegen die gravitational lensing vertonen. Licht wordt afgebogen (licht gaat niet eens in het rond, maar wordt "slechts" afgebogen) waardoor we achter bepaalde melkwegen kunnen kijken. (google maar eens op gravitational lensing).

Een andere optie is het verhogen van de dichtheid. Een zwart gat heeft een dermate hoge dichtheid dat er een bepaald gebied rondom het zwarte gat is waarbij de ontsnappingssnelheid groter is dan de lichtsnelheid. Deze barriere heet de event horizon.

Dan heet het geen planeet meer maar is het een zwart gat. Op de waarnemnigshorizon draait licht er dan lmheen. Het kleinst mogelijke zwatre gat is 10^-35 meter in doorsnee. Aan de grote is voorzover mij bekend geen limiet.

Om een lichtstraal in een cirkelbaan om de zon te krijgen zou de zon ca. 475.000 keer zwaarder of 475.000 keer kleiner moeten zijn.
De formule voor ontsnappingssnelheid van een hemellichaam is √(2GM/r). Die is dus niet evenredig met de straal, zoals in de vraag wordt verondersteld, maar evenredig met de wortel van de massa en omgekeerd evenredig met de wortel van de straal.
Bovendien hebben we voor het antwoord op deze vraag niet de ontsnappingssnelheid nodig, maar de circulaire baansnelheid. De formule daarvoor is √(GM/r). Dus precies √2 kleiner. Voor de aarde is dat 7,9 km/s en voor de zon 435 km/s.
Om licht in een cirkel om een hemellichaam te laten lopen heb je dus een grote M en/of een kleine r nodig. √(GM/r) moet een factor 300.000/435 = 689 groter worden. Laten we zeggen dat we de r constant houden. Dan moet M 689² = 475.000 keer groter zijn.
Maar zo'n lichaam kan niet bestaan. Het zou onder z'n eigen zwaartekracht ineenstorten en een zwart gat vormen.
Als we M constant houden dan moet r 475.000 keer kleiner zijn. Dat komt neer op zo'n 1,3 km.
Conclusie is dat we een lichaam nodig hebben dat een zeer grote massa heeft en een zeer kleine afmeting. Alleen zwarte gaten voldoen aan die voorwaarde. Voor zwarte gaten is de verhouding tussen massa en straal zodanig dat licht er, op afstand GM/c², in een cirkel omheen kan gaan.
O ja, en deze berekening verloopt voor de natuurkunde volgens Newton net zo als volgens Einstein. Met het belangrijke verschil dat in de natuurkunde van Newton niet wordt onderkend dat de lichtsnelheid constant is en niet als limiet wordt gezien. Ook wordt een zwart gat niet beschouwd als een bijzonder punt in de geometrie van ruimte en tijd.