Kan een man in de ruimte in een ruimtepak zichzelf omdraaien door bijvoorbeeld met zijn armen te zwaaien ?

Ja, dat kan. Mits je het op de juiste manier doet.

Wijs bijvoorbeeld met gestrekte arm omhoog. Houd de arm stijf, en draai cirkels. Doe bijvoorbeeld alsof je rondjes tekent op het (imaginaire) plafond.

Jouw arm-plus-hand maakt nu een draaiende beweging. Arm-plus-hand heeft dus een impulsmoment. Maar als jij, als rondhangende ruimtevaarder, met niets contact hebt, is jouw totale hoeveelheid impulsmoment (impulsmoment is "hoeveelheid draaiing") constant.

Voordat je begon met "rondjes tekenen op het plafond" was jouw impulsmoment nul. Nu je rondjes aan het tekenen bent, moet jouw impulsmoment dus nog steeds nul zijn. Omdat jouw arm-plus-hand een bepaald impulsmoment heeft, laten we zeggen een positief impulsmoment, moet de rest van jouw lichaam een negatief impulsmoment krijgen. De rest van je lichaam gaat dus in tegengestelde richting draaien.

Nadat je lichaam ver genoeg is gedraaid, stop je met het bewegen van je arm-plus-hand. Je bent nu omgedraaid zonder je ergens tegen te hebben hoeven afzetten.
 

Toegevoegd na 3 minuten:
 
Je kunt ook om een andere as draaien. Door je arm naar voren te steken en op dezelfde manier met arm-plus-hand rondjes te tekenen op een imaginaire muur vóór je, kun je rond je navel draaien. Je kijkt uiteindelijk dezelfde kant op, maar je hoofd en je voeten zijn verwisseld.
 

Ja.

En dat kun je zelf ook proberen door op een draaistoel te gaan zitten met je benen van de grond.
Je moet zorgen netjes zó rechtop te zitten, dat de zitting met jou erop soepel kan draaien.
Houd je armen allebei naar links gestrekt (dus de rechterarm steekt voor je borst langs ook naar links) en zwaai ze ineens via recht vooruit helmaal naar rechts toe.
De zitting en jij draaien daarbij een stukje naar links, en komen in die nieuwe gedraaide positie weer tot stilstand.
Als je nu je armen van rechts intrekt en vlak voor je borst langs naar links beweegt, kom je zonder dat de stoel terug gaat draaien weer in de uitgangspositie voor een nieuwe armenzwaai, waarbij de stoelzitting opnieuw een stukje linksom zal draaien.
Bij elke zwaai kan de stoel zo een stukje verder naar links draaien, tot ie helemaal rond is geweest.
Bij mij kom ik elke keer 30 graden naar links gedraaid uit.
En met een zware tas (10 kg) in mijn handen kom ik elke zwaai ongeveer 60 graden gedraaid uit.

In gewichtloosheid kan een ruimtevaarder ditzelfde en andere rotaties doen door armen en of benen te bewegen, voorzover een ruimtepak die bewegingen toelaat.
Het is zelfs zo dat in de ruimte van dit principe gebruik gemaakt wordt: door een aantal zware tollen (die in verschillende standen gemonteerd zijn) aan het draaien te hebben kun je de stand van een ruimteschip bijsturen door de toerentallen van die tollen (gyro’s of gyroscopen) in geringe mate te variëren.
Het voordeel is dan dat je daar geen stuurraketjes voor hoeft aan te spreken.
Het is namelijk nodig om een ruimtecapsule o.i.d. een beetje stabiel te houden, terwijl er mensen in bewegen. Anders zou het ruimtetuig (ik bedoel de capsule!) voortdurend ongecontroleerd van stand veranderen, en dat is voor bijvoorbeeld aardobservatie of aankoppelen aan het ISS erg hinderlijk.