Hoe heet het systeem met bakjes / postvakjes die aan beide kanten een open kant hebben?

Wellicht bedoel je een uitschuifbare brievenbak.
Als ik in het Engels zoek op
Mesh 5 tier tray
krijg ik ook veel hits.

In het Engels wordt het een 'mind reader' genoemd. De Nederlandse naam is minder origineel: brievenbak.

Kennelijk tegenwoordig alleen in het zwart verkrijgbaar. Dat kan bijvoorbeeld bij Blokker: https://www.blokker.nl/brievenbak-met-4-vakken---postbakje-van-metaal-voor-documenten-met-4/2930047.html

Het is ook mogelijk om twee tweedehandse exemplaren van Ikea Dokument te bemachtigen, die er in diverse kleuren waren. Bijvoorbeeld https://www.retroriek.nl/product/vintage-metalen-document-lade-ikea-letter-tray-in-oranje-drie-laags/
(Het item dat ik in de reacties op de vraag aandroeg blijkt te zijn samengesteld uit twee aan elkaar bevestigde Ikea Dokumenten).