Als iemand met een dubbele achternaam zijn kinderen ook een dubbele achternaam wilt geven, heeft dat kind dan een driedubbele achternaam?

Nee. Een dubbele naam wordt doorgegeven als de ouder wiens achternaam het kind zal krijgen een dubbele naam heeft. De achternaam van de andere ouder wordt er nooit aan vastgeplakt.

Toegevoegd na 18 uur:
Mijn eerste antwoord betreft de situatie in Nederland. Nu bekend is geworden dat het om België gaat voeg ik er een tweede antwoord aan toe.

Dit geldt in België sinds 1 juni 2014. Deze bepalingen van het Belgische Burgerlijk Wetboek zijn alleen van toepassing op de naamgeving van kinderen die Belg zijn:
Ouders kunnen de naam van de vader, de naam van de moeder of (inderdaad!) een combinatie van beide namen aan hun kinderen geven, in de volgorde die zij zelf wensen. De keuze wordt gemaakt op het ogenblik van de aangifte van de geboorte.
Bij afwezigheid van keuze of in geval van onenigheid hierover, draagt het kind de naam van de vader. Adoptanten hebben diezelfde keuze voor het geadopteerde kind.
De gemaakte keuze geldt voor alle gemeenschappelijke kinderen die nadien worden geboren. Deze keuze is onherroepelijk.

Dubbele namen onderscheiden zich van samengestelde namen. Samengestelde namen zijn namen die al bestonden voor de inwerkingtreding van de wet. Bij dubbele namen kan ook alleen een deel ervan worden doorgegeven aan de volgende generatie. En dat zal in de praktijk gaan gebeuren, want het is voor niemand praktisch om een uit meer dan drie geledingen bestaande achternaam te hebben. In de korte tijd dat het nu mogelijk is om een dubbele naam te geven hebben relatief weinig mensen daarvan gebruik gemaakt, ongeveer vier procent. Het is ook helemaal niet de bedoeling geweest dat iedereen voor een dubbele naam zou kiezen. Het gaat puur om de keuzemogelijkheid.

Het antwoord op de vraag is derhalve: als men dat in de toekomst zou willen, dan kan het. Maar de kans dat het gaat gebeuren is uitermate klein.