Hoe primitiveer ik onderstaande functie?
2.8K
2.8K keer bekeken
Geef jouw antwoord
Het beste antwoord
Deze integraal is het handigst op te lossen door trigonometrische substituties. Waarschuwing, dit is een vrij lang verhaal, ik heb geen ruimte om elk stapje tot in detail uit te leggen, dus soms zal je misschien zelf wat na moeten rekenen.
De primitieve die er uiteindelijk uitrolt is
arcsin(√2/2 * x ) + x/2 * √(2-x²) + C
(Met arcsin de inverse sinus.)
en met de gegeven integratiegrenzen rolt er Pi uit.
Zie bv. ook https://www.youtube.com/watch?v=Jkhrx7h16s0 waarin uitgelegd wordt hoe je integralen van deze vorm berekent. (Wel in het Engels). Zelf vind ik het filmpje prettiger, omdat daar de formules getoond kunnen worden, en Goeie Vraag is in dat opzicht nogal beperkt.
WAARSCHUWING: ik werk hier met x en niet t, om meer bij het filmpje aan te sluiten. Daarnaast gebruik ik voor de ‘theta’ in het filmpje de variabele z . (Ik zou t gebruikt hebben, maar dan wordt het wel heel verwarrend omdat die variabele ook al in je oorspronkelijke afbeelding staat).
Er zijn 5 stappen:
1. Omschrijven naar standaardvorm
2. Invullen van substitutie x/a = sin(z)
3. Primitiveren
4 Terugsubstitutie van oorspronkelijke variabele x
5. (Eventuele controle) en integratiegrenzen invullen.
OPGAVE: Bepaal
∫ √(2-x²) dx
al dan niet met integratiegrenzen.
STAP 1: OMSCHRIJVING NAAR STANDAARDVORM
De integrand is van de vorm
√(a² - x²) voor a=√2
We willen deze herleiden naar de vorm
a * √(1 - (x/a)²)
Omdat we dan onze substitutie uit kunnen voeren
Dus haal een factor 2 ‘uit de wortel’
√(2-x²) = √2 * √(1-1/2 x²)
en dit is inderdaad van de vorm
a * √(1 - (x/a)²)
voor a= √2
Voor het gemak zal ik verder de ‘a’ blijven gebruiken. Het resultaat wordt dan algemener, en veel lastiger is het niet.
STAP 2: TRIGONOMETRISCHE SUBSITUTIE.
Vul nu in:
x/a = sin(z)
Dan geldt namelijk:
x= a sin(z)
ofwel
dx/dz = a cos(z)
ofwel
dx = a cos(z) dz
Ook geldt
√(1-(x/a)²) =
√(1- sin²(z)) = (gebruik sin^2 x + cos^2 x = 1)
√(cos²(z))
Alles bij elkaar nemend krijgen we dus:
∫ a * √(1 - (x/a)²) dx =
∫ a * √ (cos²(z)) * a cos(z) dz =
a² ∫ cos²(z) dt
Nu geldt (formule voor dubbele hoek):
cos 2z= 2 cos²(z)-1
ofwel
cos²(z) = 1/2 (1+cos 2z)
Dus
a² ∫ cos²(z) dz =
1/2 a² ∫ (1+cos 2z) dz
en deze uitdrukking kunen we eindelijk primitiveren !
De primitieve die er uiteindelijk uitrolt is
arcsin(√2/2 * x ) + x/2 * √(2-x²) + C
(Met arcsin de inverse sinus.)
en met de gegeven integratiegrenzen rolt er Pi uit.
Zie bv. ook https://www.youtube.com/watch?v=Jkhrx7h16s0 waarin uitgelegd wordt hoe je integralen van deze vorm berekent. (Wel in het Engels). Zelf vind ik het filmpje prettiger, omdat daar de formules getoond kunnen worden, en Goeie Vraag is in dat opzicht nogal beperkt.
WAARSCHUWING: ik werk hier met x en niet t, om meer bij het filmpje aan te sluiten. Daarnaast gebruik ik voor de ‘theta’ in het filmpje de variabele z . (Ik zou t gebruikt hebben, maar dan wordt het wel heel verwarrend omdat die variabele ook al in je oorspronkelijke afbeelding staat).
Er zijn 5 stappen:
1. Omschrijven naar standaardvorm
2. Invullen van substitutie x/a = sin(z)
3. Primitiveren
4 Terugsubstitutie van oorspronkelijke variabele x
5. (Eventuele controle) en integratiegrenzen invullen.
OPGAVE: Bepaal
∫ √(2-x²) dx
al dan niet met integratiegrenzen.
STAP 1: OMSCHRIJVING NAAR STANDAARDVORM
De integrand is van de vorm
√(a² - x²) voor a=√2
We willen deze herleiden naar de vorm
a * √(1 - (x/a)²)
Omdat we dan onze substitutie uit kunnen voeren
Dus haal een factor 2 ‘uit de wortel’
√(2-x²) = √2 * √(1-1/2 x²)
en dit is inderdaad van de vorm
a * √(1 - (x/a)²)
voor a= √2
Voor het gemak zal ik verder de ‘a’ blijven gebruiken. Het resultaat wordt dan algemener, en veel lastiger is het niet.
STAP 2: TRIGONOMETRISCHE SUBSITUTIE.
Vul nu in:
x/a = sin(z)
Dan geldt namelijk:
x= a sin(z)
ofwel
dx/dz = a cos(z)
ofwel
dx = a cos(z) dz
Ook geldt
√(1-(x/a)²) =
√(1- sin²(z)) = (gebruik sin^2 x + cos^2 x = 1)
√(cos²(z))
Alles bij elkaar nemend krijgen we dus:
∫ a * √(1 - (x/a)²) dx =
∫ a * √ (cos²(z)) * a cos(z) dz =
a² ∫ cos²(z) dt
Nu geldt (formule voor dubbele hoek):
cos 2z= 2 cos²(z)-1
ofwel
cos²(z) = 1/2 (1+cos 2z)
Dus
a² ∫ cos²(z) dz =
1/2 a² ∫ (1+cos 2z) dz
en deze uitdrukking kunen we eindelijk primitiveren !
9 jaar geleden
Andere antwoorden (1)
Eerst maak je van de wortel -> tot de macht 1/2, dit mag altijd. Wortel is de tweedemachts wortel -> 1/2. Derdemachtswortel zou bijvoorbeeld 1/3 zijn.
Dan kun je makkelijk gaan primitiveren. Je telt bij de tot de macht een half 1 op dus 1,5.
Dan kijk je naar wat ervoor moet. Als je de afgeleide zou bepalen zou je keer 1,5 en keer afgeleide van wat er tussen de haakjes staat doen. Dus keer 1,5 keer -2x (afgeleide 2-x^2 = -2x), dus -3x.
Dat moet je neutraliseren, 1 van maken. Dus dan doe je 1/-3x.
Primitieve is dan 1/-3x(2-t^2)^1,5.
Dan kun je makkelijk gaan primitiveren. Je telt bij de tot de macht een half 1 op dus 1,5.
Dan kijk je naar wat ervoor moet. Als je de afgeleide zou bepalen zou je keer 1,5 en keer afgeleide van wat er tussen de haakjes staat doen. Dus keer 1,5 keer -2x (afgeleide 2-x^2 = -2x), dus -3x.
Dat moet je neutraliseren, 1 van maken. Dus dan doe je 1/-3x.
Primitieve is dan 1/-3x(2-t^2)^1,5.
Verwijderde gebruiker
9 jaar geleden
Deel jouw antwoord