Als we nu nog steeds de Juliaanse kalender hadden, zouden we dan in een heel ander seizoen leven?

Nee. Het maakt niet uit welke kalender je aanhoudt voor het seizoen waarin je leeft.
Wat er gebeurt is dat een seizoen steeds op een andere datum valt dan je verwacht na een aantal jaar..

Wat wel uitmaakt is welke datum we dan zouden zeggen dat het is. Dat is overigens iets al begin/midden februari 2022. Niet het eind.

Bij de invoering werden 10 datums overgeslagen om het begin van de lente terug te brengen naar 21 maart. De weekdagen liepen zonder onderbreking door: op donderdag 4 oktober 1582 volgde vrijdag 15 oktober 1582.

Dus dat en dan: "De juliaanse datum loopt op die manier per duizend jaar ongeveer 7,8 dagen achter op de zon."

Aangezien we nog maar de helft verder dan 1000 jaar zijn vanaf 1581 is dat iets als 4 dagen. Dus zeg 10 dagen + ~4dagen = ~twee weken. 13 of 14 februari dus met een zwakke berekening.
===

https://stevemorse.org/jcal/julian.html

27 febr 2022 gregoriaans = 14 febr 2022 juliaans (of 14 februari 2021 juliaans als dat land niet op 1 januari gebruikt maar bijvoorbeeld ergens in maart om over te gaan op het nieuwe jaar).
===

Blijkbaar is een zin niet zo duidelijk:

"Wat wel uitmaakt is welke datum we dan zouden zeggen dat het is."

Wat wel uitmaakt is, welke datum we dan zouden zeggen dat het is.
We zouden dan (als we nog steeds Juliaans zouden zijn) zeggen dat het nu 14 februari is ipv 28 februari.
We zouden dan dus een andere datum zeggen dan dat het is onder Gregoriaanse kalender.