Mijn werkgever deelt het bsn-nummer per monteur op de factuur voor 1 opdrachtgever mag dat?

Nee, dat mag niet. Organisaties buiten de overheid mogen het BSN alleen gebruiken als dat wettelijk is bepaald. De wettelijke uitzondering geldt bijvoorbeeld voor zorgverleners, zoals huisartsen, apotheken en zorgverzekeraars.
Een werkgever is verplicht het BSN van zijn werknemers op te nemen in de salarisadministratie voor de loonbelasting, maar mag dit BSN niet buiten dat doel gebruiken.
Ondanks de Wet Keten Aansprakelijkheid, gaat het BSN openlijk op elke werkbon plaatsen een stap te ver.

Ja, dat mag in specifieke gevallen.
Als er een hoofdaannemer is, die een onderaannemer inhuurt voor bepaalde werkzaamheden, dan wordt de hoofdaannemer (ingevolge de WKA, Wet Keten Aansprakelijkheid) gezien als werkgever van de werknemers van die onderaannemer op dat betreffende werk.
Dat betekent dat de hoofdaannemer ook als werkgever de beschikking moet hebben over de persoonsgegevens van die werknemer, eigenlijk zou die een kopie van het identiteitsbewijs kunnen vragen maar in de regel is opgave van het BSN voldoende.

Let op: dit geldt dus alleen in die situatie: hoofdaannemer die onderaannemer inhuurt.

Het is niet toegestaan om een bsn-nummer op een factuur te vermelden. Het is alleen toegestaan om het bsn-nummer te vermelden als de opdrachtgever hier expliciet om vraagt. In dat geval moet de opdrachtgever een schriftelijke toestemming geven.