Als het bestuur van een vereniging in zijn geheel haar taak neerlegt en er komt geen nieuw bestuur moet de vereniging dan wordenopgeheven?

In dat soort situaties geven de Statuten het antwoord.
Ik heb even geen Verenigingsrechtboekje bij de hand, maar ik denk dat er in de Statuten staat, dat er in zo n geval onmiddellijk een ledenvergadering moet worden uitgeschreven. De ledenvergadering kiest dan een nieuw bestuur. Is de vergadering niet in staat om een nieuw (voorlopig) bestuur te benoemen, dan moet de vereniging als organisatie worden opgeheven en uitgeschreven bij de KvK en moet er naar de notaris worden gegaan, om de baten en verplichtingen af te werken.
De bestuursleden zijn hoofdelijk aansprakelijk voor de eventuele schulden.

Kortom: pak de statuten er even bij.

Artikel 19a lid 2. Een in het verenigingenregister ingeschreven vereniging wordt door een beschikking van de Kamer van Koophandel en Fabrieken, in welker gebied zij haar woonplaats heeft, ontbonden, indien zij ten minste een jaar in gebreke is het voor inschrijving in het desbetreffende register verschuldigde bedrag te voldoen en de Kamer is gebleken dat er gedurende ten minste een jaar geen bestuurders van de vereniging in het register staan ingeschreven, terwijl ook geen opgaaf tot inschrijving is gedaan, dan wel er doet zich, indien er wel bestuurders staan ingeschreven, met betrekking tot alle ingeschreven bestuurders een van de navolgende omstandigheden voor:
1° bestuurder is overleden,
2° de bestuurder is ten minste een jaar niet bereikbaar gebleken op het in het register vermelde adres, en evenmin op het in de gemeentelijke basisadministratie persoonsgegevens ingeschreven adres, dan wel in die administratie staat ten minste een jaar geen adres van de bestuurder vermeld.

Pas na een jaar dus(is gebleken dat er gedurende ten minste een jaar geen bestuurders van de vereniging in het register staan ingeschreven).
groet