Weet een gemeente altijd waar een oud-inwoner naar toe is verhuisd?

De gemeente weet dit niet altijd.

Wanneer je je inschrijft in een gemeente, wordt je (nieuwe) adres toegevoegd aan de Basisregistratie Personen (BRP), voorheen Gemeentelijke Basis Administratie (GBA). Zolang iemand zich na verhuizing blijft inschrijven, kan iedere gemeente zien op welke adres diegene woont en heeft gewoond. Ook kan de gemeente zien wie er in de loop der jaren op welk adres heeft gewoond. (bron 1)

Met enige regelmaat schrijft iemand zich niet in bij de gemeente waar hij/zij naartoe is verhuisd of verlaat hij/zij het land zonder dit te melden.
In dat geval krijgt de betreffende persoon het predicaat Vertrokken Onbekend Waarheen (VOW). De gemeente weet in dat geval niet waar die persoon zich bevindt. (bron 2)

In het geval van langdurige detentie of opname in een (psychiatrisch) ziekenhuis, kan het adres in de BRP worden gewijzigd naar het briefadres van de instelling.

In jouw concrete situatie zou het dus heel goed kunnen dat de gemeente inderdaad te weinig gegevens ter beschikking heeft om het huidige woonadres van die persoon te kunnen achterhalen.
Wel vind ik dit een vreemde reactie van de gemeente, aangezien ze deze informatie niet mogen delen met derden. (bron 3)