Had de koning de belofte kunnen doen i.p.v. de eed afleggen?

Ik ben wel benieuwd wat er dan gebeurd zou zijn...

Niets anders dan nu. Alleen worden bij de belofte de twee vingers van de rechterhand niet opgestoken omdat dit specifiek voor de eed is.

Overigens staat dat pas in de Grondwet sinds 1983. Daarvoor werd de keus voor een belofte niet in de Grondwet vermeld.
Nu staat er: (artikel 32)
"Nadat de Koning de uitoefening van het koninklijk gezag heeft aangevangen, wordt hij zodra mogelijk beëdigd en ingehuldigd in de hoofdstad Amsterdam in een openbare verenigde vergadering van de Staten-Generaal. Hij zweert of belooft trouw aan de Grondwet en een getrouwe vervulling van zijn ambt. De wet stelt nadere regels vast." Er staat dus niet dat de inhuldiging op dezelfde dag moet gebeuren en ook niet dat deze in de Nieuwe Kerk moet plaatsvinden. Koning is de nieuwe koning al vanaf het moment dat de vorige abdiceert of eerder overlijdt, dat staat los van de inhuldiging.

Ik wist wel dat het niet in de kerk hoefde (de buitenlandse pers heeft het dan ook foutief over een religieuze ceremonie, god kwam er in principe niet aan te pas) maar ik wist niet dat in de wet was vastgelegd dat de koning ook de belofte af mocht leggen in plaats van de eed.

Heb verder teruggezocht. De mogelijkheid van de belofte staat sinds 1848 in de Grondwet, dus al veel langer dan ik in mijn vorige reactie schreef. In 1848 stond het aldus in de Grondwet (artikelen 50 en 51) "De Koning, de regering aanvaard hebbende, wordt zoodra mogelijk plegtig beëedigd en ingehuldigd binnen de stad Amsterdam, in eene openbare en vereenigde zitting der beide Kamers van de Staten-Generaal.
In deze vergadering wordt door den Koning de volgende eed of belofte op de Grondwet afgelegd:

"Ik zweer (beloof) aan het Nederlandsche volk dat ik de Grondwet van het Rijk steeds zal onderhouden en handhaven."

"Ik zweer (beloof), dat ik de onafhankelijkheid en het grondgebied des Rijks met al mijn vermogen zal verdedigen en bewaren; dat ik de algemeene en bijzondere vrijheid en de regten van al mijne onderdanen zal beschermen, en tot instandhouding en bevordering van de algemeene en bijzondere welvaart alle middelen zal aanwenden, welke de wetten ter mijner beschikking stellen, zooals een goed Koning schuldig is te doen."

"Zoo waarlijk helpe mij God almagtig!" ("Dat beloof ik!") Op http://www.denederlandsegrondwet.nl/9353000/1/j9vvihlf299q0sr/vi7aaw4p76zg is de ontwikkeling van de beëdiiging en inhuldiging te volgen.