Mijn contract(inhuur) bij een gemeente eindigt in januari. Zij verbieden mij om te gaan werken voor een opdrachtnemer van deze gemeente. Mag dat wel?

Nee, dit mag niet in deze situatie. Dit doordat jullie schriftelijk niets zijn overeengekomen.
Veel werkgevers proberen het echter wel, bijvoorbeeld om te voorkomen dat je 'geheimen' van de ene werkgever meeneemt naar de andere.
In het Burgerlijk Wetboek staat:

1. Een beding tussen de werkgever en de werknemer waarbij deze laatste wordt beperkt in zijn bevoegdheid om na het einde van de overeenkomst op zekere wijze werkzaam te zijn, is slechts geldig, indien de werkgever dit schriftelijk is overeengekomen met een meerderjarige werknemer.

Ja. Hoogstwaarschijnlijk wel. Ik neem aan dat je een contract hebt getekend en daarbij ook een zogenaamd concurrentiebeding, dwz dat je in x periode niet hetzelfde werk zult gaan doen bij opdrachtgevers in een straal van z kilometer of in de gemeente als zodanig etc. Alleen als die bepaling veel te zwaar uitpakt kun je de kantonrechter vragen deze bepaling te matigen of in te trekken. Veel kans geef ik je niet want de contracten van gemeentes zijn meestal goed dicht getimmerd.
Neem contact op met een juridisch loket of de vakbond als je daar lid van bent.

Toegevoegd na 32 minuten:
Juist ja. Nu je vraag is uitgebreid wordt de zaak anders. In feite ben je na beëindiging van het werk voor de gemeente een vreemde geworden om het onaardig te zeggen. Als opdrachtgever kunnen ze besluiten een ander bedrijf in te schakelen voor de werkzaamheden. Ze hebben dan ook het recht om iemand uit te sluiten dus tegen dat bedrijf te zeggen: we willen meneer X niet (meer) hebben. Dat ben jij nu, helaas. Het bedrijf dat de gemeente nu wil contracteren sluit een overeenkomst met die gemeente en een van de voorwaarden die de gemeente stelt is dat persoon X ( jij dus) niet mag worden ingezet. Er zullen wel redenen voor zijn, soms heel vergezochte!
Uitsluiting lijkt mij juridisch acceptabel al is het heel zuur voor jou.

Het concurrentiebeding wordt overeengekomen tussen de werkgever en medewerker. Dit wordt schriftelijk vastgelegd en ondertekend door de medewerker (art 7:653-1 BW) In veel gevallen staat het concurrentiebeding in de arbeidsovereenkomst zelf. Een concurrentiebeding dat in een CAO is opgenomen, is in beginsel niet verbindend. Ondertekent een medewerker een verklaring dat hij bekend is en instemt met de inhoud van een concurrentiebeding welke elders is opgenomen, dan kan dat voldoende zijn om gebondenheid aan te nemen. Denk aan een verwijzing naar een concurrentiebeding die in een reglement (of cao) staat. Onvoldoende is het ondertekenen van een arbeidsovereenkomst, die een reglement (1.6.) (of cao) van toepassing verklaart waarin een concurrentiebeding is opgenomen, zonder dat bekendheid en instemming van de medewerker met dat beding in de arbeidsovereenkomst wordt vastgelegd en ondertekend.

Lees dus je contract en cao hierop na.

Toegevoegd na 17 minuten:
Dan staat het waarschijnlijk in het CAO, en gelden deze zinnen voor jou, genoeg om stappen te gaan ondernemen:

. Onvoldoende is het ondertekenen van een arbeidsovereenkomst, die een reglement (1.6.) (of cao) van
toepassing verklaart waarin een concurrentiebeding is
opgenomen, zonder dat bekendheid en instemming van de
medewerker met dat beding in de arbeidsovereenkomst wordt vastgelegd en ondertekend.

Of het al dan niet mag even daar gelaten.
De kans dat het grotere bedrijf jouw aanneemt en die taak laat verrichten is klein.
Er zijn weinig bedrijven die ruzie met hun klanten willen maken, over iemand die niet eens bij hen werkt.

Ik zou eens aan die gemeente vragen op welke gronden (lees wets-artikel of contract-artikel) ze jou dit willen verbieden. Wanneer ze dit niet kunnen vinden zal al snel duidelijk zijn dat ze eisen stellen die niet kunnen.

Wanneer ze dit wél kunnen schept het voor jou ook duidelijkheid.

Deze duidelijkheid voorkomt ook problemen, mocht je bij dat andere, grotere bedrijf aan de slag gaan.

Maar je stelt zelf dat je contract is afgelopen. Dat werkt 2 kanten op. Ook de gemeente is niet langer verplicht jouw arbeid te accepteren.

Soms is het een kwestie van dat de gemeente je NA je contract niet meer WIL, dan mág jij wel bij dat nieuwe bedrijf gaan werken, maar de gemeente mag eisen dat jij niet aan hun opdracht gaat werken.

Deze eis komt vaker voor bij de overheid. B.v. wanneer externen al lang een bepaalde taak verrichten en men te afhankelijk dreigt te worden van de kennis 'in het hoofd' van die (dure) externe.
Om onafhankelijkheid af te dwingen, en te stimuleren dat (goedkopere) eigen medewerkers de taak en de kennis oppikken worden er grenzen gesteld aan de duur dat een bepaalde externe persoon ingezet mag worden op een bepaalde taak.