Is het nu 'partner's naam' of 'partners naam' in de zin van 'de naam van de partner'?

In dit geval is het partners naam. Ook kun je schrijven partner haar naam, dan omzeil je het probleem.

Regel 1: De apostrof wordt gebruikt bij de meervouds-s van woorden die eindigen op a, e, i, o, u of y, voorafgegaan door een medeklinkerletter of lettergreepgrens. (Met de e is de /ee/ bedoeld.) opa's, azalea's, ave's, ski's, auto's, accu's, baby's. Op grond van deze regel krijgen de volgende woorden dus geen apostrof.
lentes (De e geeft hier niet de /ee/ weer.)
abonnees (Voor de eind-e staat een klinkerletter.)
procédés
communiqués (Hier staat een é.)
essays (Voor de y staat een klinkerletter.)

Regel 2: De apostrof wordt gebruikt voor de tweedenaamvals-s van woorden die eindigen op a, e, i, o, u of y, voorafgegaan door een medeklinkerletter of lettergreepgrens. (Met de e is de /ee/ bedoeld.)
opa's huis
Antigone's broer
Leo's auto
baby's kleertjes.

Op grond van deze regel krijgen de volgende woorden dus geen apostrof:
Sombermans probleem
Annettes vraag
Aimés antwoord
Argentiniës economie
Kinseys onderzoek.

Regel 3: Als een naam eindigt op een sisklank, wordt de apostrof gebruikt in plaats van de
tweedenaamvals-s.
Strijbosch' huis
Smits' gelijk
Alex' buren
Strausz' voorouders
Bush' presidentschap
Velasquez' werken.

Regel 4: De apostrof wordt gebruikt in verkleinwoorden van woorden die eindigen op een y voorafgegaan door een medeklinkerletter.
baby'tje
lolly'tje
pony'tje (maar displaytje vanwege de klinker voor de y).

Als een woord eindigt op a, e, o of u voorafgegaan door een medeklinkerletter of lettergreepgrens, wordt de laatste letter doorgaans verdubbeld. (Met de e is de /ee/ bedoeld.) De i wordt in deze positie geschreven als ie.
opaatje
azaleaatje
aveetje
autootje
accuutje
skietje.

Bij sommige Franse leenwoorden verandert het grondwoord:
aspirientje
depootje
logeetje
machientje
sardientje
souveniertje.

Bij woordafbreking vervalt de apostrof:
baby-tje

Regel 5: De apostrof wordt gebruikt in afleidingen van cijfer- en letterwoorden.
A4'tje
65+'er
BRT'er
tv's
cd'tje

In letterwoorden die niet als zodanig herkenbaar zijn, wordt geen apostrof gebruikt:
elpees,
radars
lasers
sonartje.

In samenstellingen met cijfer- en letterwoorden komt een liggend streepje:
tv+programma wordt tv-programma, maar tv+tje (afleiding) wordt tv'tje.