moet er een vraagteken achter een zin die begint met: waarom?

Ja, als het een vraag of een vragende zin is, moet daar een vraagteken achter. Hoewel het woord waarom een vragend voornaamwoord is, wil dat niet zeggen dat elke zin waarin het woord waarom voorkomt ook een vraag is. Hetzelfde geldt voor andere vragende voornaamwoorden als wie, wat en waar. Voorbeeldje:
Waarom moet er een vraagteken achter een vraag?
Waarom er een vraagteken achter een vraag moet, is hopelijk nu duidelijk.

Nee, er moet niets. Het hangt van de zin af of er wel of niet een vraagteken komt.
Als het een vraag is, komt er een vraagteken.
Als de zin begint met 'Waarom' en het is een constatering/mening dan komt er geen vraagteken. Bijvoorbeeld, zoals LeonardN stelt: Waarom je deze reactie geeft snap ik niet.

Nee, niet in alle gevallen moet er een vraagteken achter een zin die begint met "waarom".
Het woordje waarom duidt er nog niet op dat het een vraag betreft, dus een vraagteken achter een zin die begint met waarom verschaft juist duidelijkheid.*

-Waarom dit zo lastig is begrijp ik niet. (Dit is een statement, geen vraag. Als iemand nu uit begint te leggen waarom dat zo is, kan je zeggen, "Sorry, maar ik vroeg je niks, ik stel dit enkel en wil ook in deze positie blijven!")
-Waarom hebben mensen een probleem om dit te begrijpen? (Dat is een vraag, je kan nu niet vreemd opkijken als iemand antwoord geeft.)

Wat we dus kunnen stellen is:

-Niet alle zinnen met "waarom" erin, of zinnen die beginnen met "waarom" zijn vraagzinnen.
-Alle zinnen die vraagzinnen zijn, zijn eindigen met een vraagteken.
-Alle zinnen die geen vraagzinnen eindigen niet met een vraagteken.
>Conclusie:
Niet achter alle zinnen die beginnen met "waarom", (of waarin het woordje "waarom" voorkomt) eindigen met een vraagteken.

Het antwoord is dus: Het ligt eraan of de zin beginnend met waarom, wel of geen vraagzin is.
-Wel een vraagzin> Wel een vraagteken.
-Niet een vraagzin> Geen vraagteken.

*Ik snap je idee dat ALS alle zinnen die beginnen met woordje "waarom" of "wie" of "wat", allemaal altijd vraagzinnen zouden zijn, je op zich dat vraagteken weg zou kunnen laten (het zou dan immers duidelijk zijn door dergelijke woorden dat we al met een vraag te maken hebben. Hopelijk is echter duidelijk dat dat niet altijd het geval is. Het is dus heel fijn dat we wel een vraagteken moeten zetten achter een zin die met zo'n woordje begint EN welke een vraagzin is, anders zou het verwarring kunnen veroorzaken. Halverwege een zin kom je er dan bij wijze van achter dat het niet om een vraagzin gaat, maar je leest dan al wel met de vragende toon.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Vraagteken
"Het vraagteken is een leesteken dat men aan het einde van een vraagzin plaatst, om duidelijk te maken dat het een vraag is."
(Maar nogmaals, niet alle zinnen met waarom erin zijn vraagzinnen. Daarom komt er dus niet altijd een vraagteken achter waarom.)