Wordt een betoog bij het gebruik van 'ik' een essay?

Nee. Een betoog is bedoeld om de lezer van je mening te overtuigen, daar kun je gerust in de ik-vorm schrijven.

Verschil betoog - essay: een betoog is stelliger (je neemt een standpunt in en daarvoor geef je argumenten) en een essay onderzoekender, uitproberender. In beide vormen kun je de ik-vorm gebruiken.

Toegevoegd na 8 minuten:
Wikipedia:
Een betoog is een verdediging van een standpunt met het benadrukken van argumenten en ontkrachten van tegenargumenten. Een betoog onderscheidt zich van andere manieren om een stelling te verkondigen door de stelligheid waarmee de stelling verkondigd wordt en de veelal subjectieve argumenten die gegeven worden.
Een essay is een beschouwende prozatekst of een artikel over een we­ten­schap­pe­lijk, cul­tu­reel of fi­lo­so­fisch on­der­werp, waarin de schrijver zijn persoonlijke visie geeft op hedendaagse verschijnselen, problemen of ontwikkelingen.

Een essay heeft een wat persoonlijker karakter, maar een betoog is ook subjectief.