Hoe schrijf ik je de volgende zin: Zal ik hun/hen de kaarten sturen?

Het is hier een meewerkend voorwerp ('aan wie zal ik het sturen?') en dan wordt het 'hun'.
Dus naast bezittelijk voornaamwoord gebruik je 'hun' ook bij een meewerkend voorwerp in plaats van 'hen'.

Toegevoegd na 2 minuten:
Let op: je kunt het wel AAN HEN sturen, maar als je het voorzetsel niet gebruikt (dat kan dus), dan gebruik je 'hun'.

Een goede tip is om van het woordje 'mij' uit te gaan. Verander het woord 'hen' in 'mij',
dan hoor je of je 'hen' of 'hun' moet schrijven.
"De meester zet hen in de hoek". "De meester zet mij in de hoek". "De meester zet 'mijn' in de hoek", klinkt al niet dus is het fout om 'hun' te schrijven.
Bij 'hun' moet er nog iets achter omdat het een bezittelijk vnw is....het is hun vader of hun schuld enz.

Soms is 'hun' tóch een persoonlijk vnw. en geen bezittelijk vnw. daarom de volgende richtlijnen;

Je gebruikt 'hen' als het de functie heeft van lijdend voorwerp;
"Ik zie hen lopen"..( wie zie ik lopen?..hen)
"Ik heb hen gesproken"..( wie heb ik gesproken? ..hen)

Je gebruikt ook 'hen' na een voorzetsel;
"Ik geef het boek AAN hen".
"Ik zong een lied VOOR hen".
"Ik ging NAAST hen zitten".

Je gebruikt 'hun' als het de functie heeft van meewerkend voorwerp waar GEEN voorzetsel voor staat;
"Ik heb hun het boek gegeven".
"Ik vertel het hun".
Tip; als je 'hun' kunt vervangen door 'aan hen' heb je met een meewerkend voorwerp te maken.
"Ik heb hun het boek gegeven"..."Ik heb aan hen het boek gegeven".

Bij een bezittelijk vnw. gebruik je ook 'hun';
"Hun hond liep weg"..."Het is hun probleem".
Tip; Als in de zin de klemtoon ligt op hen of hun én het zijn personen, dan kun je hen/hun vervangen door 'ze';
"Je hebt hen te pakken" wordt dan "Je hebt ze te pakken".
"Ik heb hen een uitbrander gegeven" ..."Ik heb ze een uitbrander gegeven".

Met hen en hun kan je niet naar zaken verwijzen. Je kunt dus niet zeggen:
"Mijn sleutels, waar heb je hen/hun gezien?" Je gebruikt dan altijd 'die' of 'ze';
"Mijn sleutels, waar heb je die/ze gezien?"

Toegevoegd na 4 minuten:
"Zal ik hun de kaarten sturen"....of " Zal ik aan heb de kaarten sturen" is dus correct.

Een makkelijk ezelsbruggetje (-een pleonasme: bestaan er ook moeilijke ezelsbruggetjes?-) is er niet. Je zal je steeds moeten afvragen of er sprake is van een meewerkend voorwerp. In dat geval moet je (tenzij er een voorzetsel voorkomt in het meewerkend voorwerp) "hun" gebruiken. Een uitgebreidere uitleg hebben de andere antwoordgevers al gegeven.

Je zou er overigens voor kunnen kiezen het probleem te negeren en "hun" niet meer te gebruiken als persoonlijk voornaamwoord, maar alleen nog maar "hen" te gebruiken. "Hun" gebruik je dan alleen als het een bezittelijk voornaamwoord is. Volgens deze website https://onzetaal.nl/taaladvies/advies/hun-hen ‘leeft’ het verschil tussen "hun" en "hen" namelijk allang niet meer in het dagelijks taalgebruik. Er zullen dus maar weinigen je deze fouten kwalijk nemen. "Hun" gebruiken als onderwerp van een zin wordt overigens wel door velen niet gewaardeerd.

De website adviseert overigens zelf het volgende:

"Lukt het u niet om met deze vuistregels uw twijfel op te lossen, gebruik dan ‘ze’. In niet al te formele teksten is dit vaak prima bruikbaar als alternatief voor ‘hen’ én ‘hun’: ‘Ik geef ze (hun) het boek’, ‘Laat ze (hen) maar praten.’ "

In de zin van je voorbeeld moet overigens "hun" worden gebruikt, maar dat hadden de andere antwoordgevers ook al aangeven. "Zal ik hun de kaarten sturen?" is de enige correcte zin.

Op de door mij genoemde website staat een lange lijst met voorbeelden van werkwoorden waarbij het verschil tussen "hen" en "hun" relevant is. In de lijst wordt het volgende voorbeeld gegeven over het werkwoord "sturen": "ik heb hun het pakje gestuurd", maar "ik heb hen op pad gestuurd".