Is het: 'Doe mee met de gezellige zoektocht.' of 'Doe mee aan de gezellige zoektocht.' ?

Allebei goed; als er al verschil in gebruik is, dan is dit minimaal.

Toegevoegd na 3 minuten:
Althans in het voorbeeld dat je gebruikt.

In een zin als deze kan alleen 'met': "Ik doe mee met de meerderheid".

Door ergens aan deel te nemen participeer je daaraan of daarin. Participeren is ergens actief aan deelnemen.
Eraan meedoen: Heb jij er ook aan meegedaan? Probeer dan hieraan mee te doen. Daaraan zou ik graag meedoen. Ik kan niet beslissen waaraan ik mee zal doen.
Meedoen aan de Olympische Spelen betekent heel veel voor sporters.

Door mee te doen met iets sluit je je aan bij een groep die hetzelfde doet. Dus je zondert je niet af, maar conformeert je. "Ik moet wel meedoen met pesten, want anders gaan ze mij weer pesten". Het is niet per definitie een actieve deelname.

Het hangt er daarom vanaf of die puzzel- of speurtocht een is waar elke deelnemer zelf iets uit zal gaan voeren, of dat je bijvoorbeeld simpel bij iemand in de auto kunt stappen en je mee laten rijden of je hier kunt spreken van meedoen aan of meedoen met.