Moet je in dit geval een komma gebruiken voor "die"?

Ja, het kan wel. Maar als de zin achter "dat" kort is hoeft het niet. een komma bij elke ademhaling wanneer men de zin uitspreekt (zo is mij geleerd)

Dat hangt af van waar de nadruk op ligt. Bij: 'problemen, die...' Ligt de nadruk op 'problemen', en bij 'problemen die...' Hoort 'problemen' en waar die problemen voor zorgen meer bij elkaar.

Het hangt van de betekenis van de bijzin af:
Kun je de bijzin weglaten zonder dat belangrijke informatie verloren gaat, dan kun je een komma plaatsen (uitbreidende bijzin).
Is de bijzin echter een nadere specificering, die zonder betekenisverandering niet weggelaten kan worden, dan moet je geen komma plaatsen (beperkende bijzin).

Voorbeeld Onze Taal:
"Er is verschil in betekenis tussen de volgende twee zinnen:
• De collega's, die ons nieuwe huis nog niet gezien hebben, komen vanavond eten.
• De collega's die ons nieuwe huis nog niet gezien hebben, komen vanavond eten.
Voor beide zinnen geldt dat de zin die begint met die, iets zegt over het voorafgaande zelfstandig naamwoord collega's: 'die ons nieuwe huis nog niet gezien hebben' is een zogenoemde bijvoeglijke bijzin. Afhankelijk van het soort bijzin dat volgt, zetten we wel of geen komma voor die.
In de eerste zin hebben we te maken met een uitbreidende bijzin. Het zinnetje tussen komma's vertelt iets meer over de collega's. De mededeling is in feite: 'De collega's komen vanavond eten', en er wordt nog extra aan toegevoegd dat ze ons nieuwe huis nog niet gezien hebben. De uitbreidende bijzin zou weggelaten kunnen worden zonder dat belangrijke informatie verloren gaat. De uitbreidende bijzin staat altijd tussen komma's.
In de tweede zin kan de bijzin niet zonder betekenisverandering weggelaten worden. De bijzin is een nadere specificering van het onderwerp 'de collega's': niet álle collega's komen vanavond eten, maar alleen 'de collega's die ons nieuwe huis nog niet gezien hebben'. In dit geval staat er géén komma voor die. We noemen deze bijzin een beperkende bijzin; de bijzin beperkt namelijk de betekenis van het zinsdeel waar hij bij hoort. Vóór een beperkende bijzin staat geen komma (erachter vaak wel)."

Er is een verschil in betekenis.

Ik zal het uitleggen aan de hand van een voorbeeld:

"De demonstranten die boos zijn, blijven op het plein."

Deze zin betekent dat niet alle demonstranten op het plein blijven, maar alleen de demonstranten die boos zijn. Demonstranten met een goed of neutraal humeur gaan weg.

"De demonstranten, die boos zijn, blijven op het plein."

Deze zin betekent dat alle demonstranten boos zijn en dat alle demonstranten op het plein blijven.

Het is dus afhankelijk van wat je wil zeggen. Naar mijn idee moet er geen komma vóór "die", omdat de bijzin niet zonder betekenisverandering van de hele zin weggelaten kan worden, maar ik ken niet de hele zin.

Zie ook de uitleg op https://onzetaal.nl/taaladvies/advies/komma-voor-die-dat

Nee, want je hebt hier niet een pauze in de zin nodig.