Is het "erdoor heen" of "er doorheen"?

Het is: erdoorheen.

Je schrijft het beide in deze situatie niet zo, je schrijft het aan elkaar dus 'erdoorheen'. Dit omdat het een plaats aangeeft (erdoorheen gaan).

Het is nog iets anders.

De jongen gaat erdoorheen

De combinatie van er+een voorzetsel wordt bijna altijd aaneengeschreven, zonder spatie dus.
erdoor, erdoorheen,
ernaar, ernaartoe,
erom, eromheen.
ertegen, ertegenaan, ertegenin, ertegenop,
ervan, ervandaan, ervandoor, ervantussen.

Je kunt bij alle combinaties 'er' vervangen door 'hier' , 'daar' of 'waar'. ( hiernaartoe, daartegenover, waaroverheen, enz)
Een ezelsbruggetje; "er, hier, daar en waar schrijf je altijd aan elkaar. ( niet letterlijk dus, want het zijn niet die 4 woordjes diie je aan elkaar schrijft) maar het is een geheugensteuntje voor bovenstaande regelmaat.

Er zijn echter ook gevallen dat het niet allemaal aaneengeschreven wordt. Je moet dan eerst uitgaan van het feit of het werkwoord al een deel beval.

Zoals;
inzitten----'ik zit erover in', 'ik kan erover inzitten',
'zit er maar niet over in'.
afzien----'hoewel het een mooi aanbod is, zie ik er toch van af'.
'hoewel het een mooi aanbod is, zie ik ervan af'.
'hoewel het een mooi anbod is, laat ik weten dat ik ervan afzie'.
Daarop ingaan, hierop afkomen,

Om het nog 'leuker te maken', soms is de betekenis van werkwoorden ook van invloed bij ww. met meerdere betekenissen. 'Uitlekken' is zo'n woord, maar 'lekken' is ook een ww.
bijv; De natte kleren hangt tussen de kachels.De kelding lekt ertussen uit (het ww. is uitlekken)
Er zit veel saus op het broodje, de saus lekt ertussenuit.
( het ww. is lekken)

Hier moet je dan luisteren of 'uit' bij het ww. hoort en dan moet je de zin even door elkaar gooien.
Dit klinkt wél goed; Natte kleren lekken uit tussen de verwarming
(daarom;ertussen uitlekken)
Dit klikt niet goed; Saus lekt uit tussen het broodje (daarom;ertussenuit lekken).

Daarom is het 'erdoorheengaan' want je gaat ergens doorheen
Het werkwoord is niet ; 'heengaan'.
Zou het het werkwoord heengaan betreffen, dan wordt geschreven je kunt 'erdoor heengaan' als je dood gaat aan een bepaald iets. Heengaan is een vorm van sterven, of je kunt ergens naartoe of ernaartoe gaan of erheen gaan.