Het is: Kunt u? Waarom is het dan niet Kunt je, maar kun je? Of moet je het woord kan gebruiken?

Je kunt 'kunt' wel bij 'je' gebruiken wanneer dat andersom staat.
"U kan" is informeel taalgebruik, en "u kunt" formeel.
Het komt doordat het persoonlijk voornaamwoord 'u' van oorsprong een derde persoon enkelvoud is, afgeleid van 'uwe edelheid'. Daarbij hoorde ook een persoonsvorm in de derde persoon enkelvoud. Tegenwoordig wordt u niet meer als derde persoon beschouwd maar als tweede persoon enkelvoud, net als jij/je. U wordt nu daarom gecombineerd met de persoonsvorm van de tweede persoon: u kunt, u zult, u wilt.
'Je/jij kunt' is de gewone vorm, en 'je/jij kan' is informeler.

Het is inderdaad 'kun je', en niet 'kunt je'. Het woord 'kan' is hier niet nodig - het heeft zelfs niets met de achterliggende regel te maken.

Dat komt voort een (bijzondere) regel van de Nederlandse grammatica: als 'je' als onderwerp *achter* een werkwoord staat, gebruik je dat werkwoord zonder -t.

Vergelijk het met andere werkwoorden:

Loopt u?
Loop je?
U loopt.
Je loopt.

Werkt u?
Werk je?
U werkt.
Je werkt.

Begrijpt u?
Begrijp je?
U begrijpt.
Je begrijpt.

Zo ook bij het 'kunnen' uit jouw vraag:

Kunt u?
Kun je?
U kunt.
Je kunt.