Kan een konijn je aansteken met haar verkoudheid/griep en andersom?

nee dat lijkt mij niet

Helemaal uit te sluiten is dat niet omdat bacteriën en virussen nu eenmaal kunnen veranderen.

Nee, over het algemeen niet. Een ziekte die van mens naar dier overgebracht kan worden heet een zoönose.
Bekende voorbeelden zijn hondsdolheid, melkerskoorts, ziekte van Lyme, mond-en-klauwzeer en Q-koorts..
Iedere diersoort kent zijn eigen griep/verkoudheidverwekkers, meestal is dit een complex van virussen. Hiervoor vaccineer je bijvoorbeeld je hond en kat. Een griepvirus kan zich echter muteren waardoor het overgebracht kan worden op de mens. Een bekend voorbeeld hiervan zijn de varkensgriep en de vogelgriep.

Zover bekend, zijn er geen griepvirussen die van konijnen naar mensen overgebracht kunnen worden (en andersom).

als het gaat om verkoudheid denk ik het wel eerst werd er ook gezegd dat het niet kon van een kat naar de mens maar is wel gebleken na onderzoek dat dit wel kan, misschien beter om je konijn te laten enten